Предельная относительная погрешность разности двух приближенных чисел выражается формулой

. (21)

При расчете разности двух приближенных чисел в тех случаях, когда и близки по величине, т. е. разность их мала по сравнению с самими числами, происходит так называемая «потеря точности», когда относительная погрешность разности оказывается намного больше, чем относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого.

В целом, для вычисления предельной абсолютной погрешности сложения и вычитания двух приближенных чисел можно пользоваться формулой

, (22)

а для вычисления предельной относительной погрешности формулой (23)

, (23)

где и .

В случае умножения и деления проще определять относительную погрешность результата. Как в случае произведения, так и в случае деления двух чисел предельная относительная погрешность произведения и частного равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей или делимого и делителя соответственно

, (24)

где и .

Предельную абсолютную погрешность произведения и частного можно найти по формуле

, (25)

где - для операции умножения, и - для операции деления.

5. Оценка погрешностей функции приближенных аргументов

Погрешность функции одного независимого переменного. Пусть имеется известная функция

. (26)

Погрешность аргумента приводит к погрешности функции . Это можно записать так

. (27)

Разложим функция в правой части в рад Тейлора по степеням

. (28)

Предполагая далее, что измерения достаточно точны, так что величина мала по сравнению с . Поэтому можно отбросить члены, содержащие во второй и высших степенях. Получаем

. (29)

И, в соответствие, с (26)

. (30)

Принимая, что и , можно записать

. (31)

Для того, чтобы найти относительную погрешность , нужно разделить обе части равенства (30) на (26). Принимая во внимание, что для независимого переменного справедливо тождество , получим

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (32)

Таким образом, абсолютная погрешность функции одного переменного равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции (см. 31). Относительная погрешность функции одного переменного равна производной от ее натурального логарифма, умноженной на абсолютную ошибку аргумента.

Погрешность функции нескольких независимых переменных. Обобщим, приведенные выше рассуждения, для определения погрешности функции нескольких переменных

. (33)

Полагаем, что и и что величины настолько малы, что можно отбросить члены, содержащие в степенях выше первой. Тогда можно по аналогии с выше изложенными рассуждениями получить следующую формулу

, (34)

откуда

. (35)

Считая, что все погрешности имеют одинаковый знак, получим выражение для предельной абсолютной погрешности функции переменных

. (36)

Чтобы найти предельную относительную погрешность функции, нужно обе части равенства разделить на (33)

. (37)

Таким образом, предельная абсолютная погрешность функции независимых переменных равна сумме частных производных этой функции, умноженных на соответствующие абсолютные погрешности аргументов, по которым производится дифференцирование.

Предельная относительная погрешность функции равна сумме частных производных от ее натурального логарифма, умноженных на соответствующие абсолютные погрешности аргументов.

6. Общая часть задания к лабораторной работе

Общее методическое указание. В п.8 дана вариативная часть задания к лабораторной работе. Номер варианта возьмите у преподавателя. Функцию №1 используйте для выполнения задания по пунктам а) и б), а функцию №2 для выполнения задания по пункту в). Для оценки погрешностей используйте возможности Matlab в области символьных вычислений. Запишите функцию в символьном виде. Примените функцию diff для поиска частных производных, а функцию subs для поиска значения функции и частных производных в точке ().

Задание:

а). Найти значение функции (первая функция вашего варианта) в точке с координатами (). Оценить абсолютную и относительную погрешность функции в данной точке в соответствии с абсолютными погрешностями аргументов. Вычислите погрешности функции на основе формул (22-25), (30).

б). Найти абсолютную и относительную погрешность функции (первая функция вашего варианта) пользуясь выкладками пункта 5. Оценить количество значащих цифр в числе.

в). Найти абсолютную погрешность аргументов функции (вторая функция вашего варианта), при которых количество верных знаков (значащих цифр) в ее величине будет равно .

г). Результаты вашей работы оформите в MS Word, как это сделано в пункте 7 «Пример выполнения задания». Защита лабораторной работы потребует демонстрации ваших вычислений в Matlab. Поэтому сохраните в виде m-файл или файла истории команд Command Window.

7. Пример выполнения задания

а). Найти значение функции в точке с координатами (). Оценить абсолютную и относительную погрешность функции в данной точке в соответствии с абсолютными погрешностями аргументов. Вычислите погрешности функции на основе формул (22-25), (30).

Дано: , , ,

Абсолютные погрешности исходных данных:

, ,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4