Тезисы научной конференции «Матетатическое моделирование исторических процессов», 29-31 октября 2007 г. в институте прикладной математики им Келдыша в Москве (стр. 9 )

4.  Часть избыточных средств сельского хозяйства стимулирует рост промышленного сектора спросом со стороны жителей села и в т. ч. спросом на средства производства, которые помогают повышать эффективность аграрного производства.

5.  Стимулирование потребностей аграрных производителей в промышленных товарах создает дополнительные стимулы у них к увеличению производства.

6.  Однако рост производства при прочих равных условиях ведет к тому, что цены стабилизируются или снижаются по достижению какого-то высокого уровня или рост цен стремится к нулю. Здесь налицо отрицательная обратная связь высокие цены– рост производства – снижение цен.

7.  Рост населения увеличивает спрос на продовольствие и соответственно способствует повышению цен. Но больший рост городского населения по сравнению с общим демографическим ростом ведет к тому, что общий прирост замедляется (за счет меньшей рождаемости и более высокой смертности в городах).

8.  Отток населения в города препятствует слишком сильному снижению платы в сельском хозяйстве наемным рабочим у фермеров.

9.  Уход части населения в города уменьшает демографическое давление в селе, и в то же время за счет инноваций удается компенсировать уход людей повышением производительности труда. Таким образом, рост населения компенсируется ростом производства, что и составляет основной момент выхода из мальтузианской ловушки.

Предварительный численный анализ предлагаемой модели показывает, что основными условиями выхода из мальтузианской ловушки является ситуация, когда имеется механизм роста производства равный (или превосходящий) рост населения. Этот механизм может включиться в условиях создания в городах или неаграрных поселениях какого-то достаточно доходного промысла, занятия (например, производства шерсти), секторов и т. п. (включая также торговлю, кредит, финансы) наряду с традиционными источниками доходов, например ренты, которую проживают владельцы земли, налоговые источники и т. п. Все это создает постоянный источник привлечения в города избыточного населения, что и является стимулом для поддержания высоких цен. Высокие же цены при соблюдение условий, способствующих росту фермерского хозяйства (о которых сказано выше), возникновения устойчивого стремления и разнообразной мотивации (о которой сказано выше) к постоянному росту производства, создают источник постоянного роста производительности как в агарном, так и в неаграрном секторах. При условии мощной внешней торговли, дополнительно стимулирующей неаграрный (или непищевой) сектор возникают отдельные общества примитивного промышленного типа, в которых возникают условия для выхода из мальтузианской ловушки.

Комплексные математические модели динамики человеческого общества. ,

Научно-исследовательский центр: "Синергетика" Санкт-Петербургского союза ученых, *****@***spb. ru

Динамика живых систем описывается в настоящее время функциями, содержащими действительные переменные. Однако введение в рассмотрение комплексных переменных часто позволяет не только упростить постановку и решение задачи, но и обнаружить в рассматриваемых процессах новые закономерности явления. В докладе рассмотрены три модели динамики человеческого общества, в которых использованы функции комплексного переменного.

1. Первая является обобщением известной модели . Введение комплексной переменной позволило не только упростить запись дифференциального уравнения, описывающего рост человеческой популяции, но и провести аналогию между прохождением демографического перехода и обтеканием вихревой особенности идеальной несжимаемой жидкостью.

2. Вторая модель представляет человечество в качестве нелинейной волны, проходящей в среде, в которую входят все когда-либо существовавшие и существующие люди, а также люди, которые когда-либо будут существовать. Волновой подход к динамике человеческой популяции позволил построить комплексную волновую функцию, аналогичную по форме волновой функции квантовой механики. Введение предложенной модели позволяет дать известным демографическим параметрам новую – волновую интерпретацию и попытаться использовать методы квантовой динамики для исследования роста человеческой популяции. Не решённым в рамках предложенной модели пока остаётся вопрос, какое уравнение для волновой функции является аналогом уравнения Шредингера квантовой механики и является ли динамика человеческой популяции в некотором обобщённом смысле гамильтоновой системой.

3. В синергетических работах часто встречается понятие целостности системы. Предлагается новая интерпретация этого понятия и для её описания вводится новая математическая итерационная модель, включающая в свою правую часть степенные функции с комплексными показателями степени. В частности, в случае чисто мнимых показателей степени решения этой системы оказываются периодическими или квазипериодическими и при их реализации сохраняется некоторый инвариант, аналогичный гамильтониану в гамильтоновых динамических системах.

Обобщения предложенных моделей позволяют наметить контуры нового направления в синергетике – динамику степенных моделей с комплексными показателями степени.

Модель роста населения земли, экономики, технологии и культуры. , ,

Демографическая динамика сложных аграрных обществ двух последних тысячелетий следует закону роста населения, прекрасно описываемому гиперболической кривой. Данный феномен исследовался Х. фон Ферстером, и другими авторами. Кроме самого роста интерес представляет эффект демографического перехода, останавливающий гиперболический рос и переводящий население на постоянный уровень.

Авторами настоящей работы была предложена математическая модель, описывающая и гиперболический рост, и последующий демографический переход:

где a, b, с – константы, N – население, S – «излишек» разница между производимым продуктом и минимально необходимым для выживания m (значение S близко по смыслу уровню технологии), L – уровень грамотности населения (изменяется от 0 до 1). Мировой ВВП рассчитывается как G = N (S + m).

Результаты расчета системы показаны на графиках в двойном логарифмическом масштабе: Результаты демонстрируют исключительную близость эмпирических данных и модели, описывающей как гиперболический рост населения, так и демографический переход. Последние исследования показывают, что гиперболическому росту также подвержен процент городского населения, потребление электроэнергии и рост силы вооружений.

Литература:

1. Капица С. П. Математическая модель роста населения мира // Математическое моделирование 4/6: 65–79. 1992.

2. , ,  Математическая модель роста населения Земли, экономики, технологии и образования. Препринт ИПМ им. РАН №13, Москва, 2005.

Феноменологическая макромодель мировой динамики и устойчивого развития. Махов С. А.

Институт прикладной математики им.  РАН, *****@***ru

В докладе изложена феноменологическая модель мировой динамики, в рамках которой исследуется проблема обеспеченности ресурсами и устойчивого развития мировой системы на ближайшие несколько столетий.

На глобальном уровне, оперирующим временами порядка столетий и тысячелетий параметрами порядка можно считать численность населения, доступные человечеству ресурсы и имеющиеся технологии. Модель претендует на описание индустриальной и наступающей сейчас постиндустриальной фаз развития мира. Схема взаимодействия между тремя указанными величинами принимается такой: население создает технологии, технологии актуализируют ресурсы из окружающей среды, ресурсы повышают обобщенную продуктивность социально-экономической системы, что ведет к росту населения.

Изложенная схема асимметрична: технологии играют роль ведущей, а численность населения – ведомой переменной, ресурсы выступают в качестве передатчика. Это означает, что численность населения подстраивается под уровень развития технологий и имеющихся ресурсов [1], поэтому представляется вполне допустимым при рассмотрении вопроса обеспеченности ресурсами отказаться от переменной "население" и иметь дело только технологиями T и ресурсами R, считая N ~ T.

Согласно схеме все три величины ведут себя согласованно, и в среднем должны меняться по аналогичным законам. Известны данные о росте населения Земли: в течение по крайней мере двух последних тысячелетий численность населения росла по гиперболическому закону [2], то есть для этого параметра наблюдается масштабная инвариантность и отсутствие характерных значений, следовательно, и для двух других параметров должно быть то же самое. Система уравнений для индустриальной (и постиндустриальной) эпохи имеет следующий вид:

, ,

где λ, σ, m – параметры. На основании ряда косвенных данных можно дать оценки некоторым степенным показателям, фигурирующим в уравнениях: a < 1, m < 1, b ≈ 2, на индустриальной стадии d ≈ 2, на наступающей сейчас постиндустриальной d ≈ 1.

Помимо данных переменных было введено понятие уровня жизни L, который (с точностью до постоянного множителя) определим как часть продукта, направляемого на потребление, отнесенного на душу населения: L ~ RaTb–1.

Расчеты показывают, что с течением времени переменная R быстро выходит на ноль, после чего переменная T по экспоненте также падает до нуля, уровень жизни L также падает до нуля. Это отражает идею о том, что потребление ресурсов в таких масштабах, в каких происходит сейчас, приведет к их полному исчерпанию.