Ряды Фурье (стр. 2 )

Пример 1. Разложить функцию , заданную на отрезке , в ряд Фурье в комплексной форме.

Решение. Данная функция в указанном интервале удовлетворяет условиям Дирихле.

По формулам (2) имеем

Т. к. , то ,

.

В интервале этот ряд представляет функцию , а в точках его сумма равна .

4. РЯД ФУРЬЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФОРМЕ

Пусть функция удовлетворяет на условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье

, (1)

где . (2)

Преобразуем ряд (1)

.

Используя формулы

получим

.

Введём обозначения .

Имеем

.

Получим формулы для коэффициентов , , :

;

,

т. к. , то ;

,

т. к. , то .

Итак, ряд Фурье в вещественной форме для функции на имеет вид

; (3)

,

, (4)

.

Дополнение к примеру 1.

Чтобы преобразовать ряд, полученный в примере 1 для функции в комплексной форме, к вещественной форме, следует объединить слагаемые с индексами и и заменить по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

,

При вычисляем .

Следовательно,

.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке .

Решение. Данная функция на удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому может быть разложена в ряд Фурье.

(интегрируем по частям: ; ; ; )

= для всех

При полученное выражение для не имеет смысла, поэтому коэффициент вычисляем отдельно

.

.

Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям:

; ; ; .

Подставляя значения коэффициентов и в тригонометрический ряд (3), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье:

.

Это разложение справедливо (полученный ряд сходится к данной функции) при любом .

В точках и сумма ряда равна .

Пример 3. Написать ряд Фурье для функции при .

Решение.

(для вычисления второго интеграла применяем формулу интегрирования по частям: ; ; ; )

;

;