Ряды Фурье (стр. 3 )

.

Искомое разложение имеет вид

.

Оно справедливо для всех ; :

в интервале (0;2) сумма ряда , в интервале (2;4) .

В точке разрыва .

В точках и сумма равна .

5. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Пусть функция на удовлетворяет условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье (3) с коэффициентами (4).

Положив , имеем

.

И формулы (3), (4) принимают вид

, (5)

где

;

, (6)

,

6. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Это частный случай предыдущего разложения, когда :

, (7)

где

;

, (8)

,

7. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов ряда (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда.

Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

, (9)

где , . (10)

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

(11)

где . (12)

Доказательство

Известно, что если функция интегрируема на симметричном отрезке , то

если

Если - четная, то - четная функция , а - нечетная функция .

Если же - нечетная функция, то - нечетная, а - четная функция.

С учетом этих фактов и из формул (5)-(6) получаем формулы (9)-(12).

Ряды (9) и (11) называются неполными рядами Фурье, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на .

Решение. Эта функция на является непрерывной, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. В силу нечетности все коэффициенты , .

.

Ряд Фурье для данной функции содержит только синусы

для любого ; .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на .

Решение. Данная функция удовлетворяет на условиям Дирихле, является четной.

, , ;

.

Заметим, что если .

Итак, получим следующее разложение в ряд Фурье:

.

Т. к. , то на график функции совпадает с графиком ряда Фурье.

8. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА

1. Отрезок можно считать частным случаем промежутка . В этом случае функцию можно разложить в ряд Фурье (3), коэффициенты которого определяются по формулам (4), то есть ряд Фурье содержит косинусы и синусы.

2. Функцию, заданную на , можно продолжить на промежутке и получить ряд Фурье на промежутке .