Ряды Фурье (стр. 1 )

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

РЯДЫ ФУРЬЕ

В. Новгород

2011

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

РЯДЫ ФУРЬЕ

Методические указания

В. Новгород

2011

УДК 517.2 Печатается по решению

РИС НовГУ

Рецензенты

Канд. ф.-м. наук, доцент

Ряды Фурье: метод. указания/Авт.-сост. ; ФГБОУ ВПО «Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого», Великий Новгород, 2011.– 24с.

Рассматриваются основные теоретические сведения, связанные с теорией рядов Фурье, разобраны практические примеры.

Приведены задания для самостоятельной работы.

Методические указания предназначены для студентов инженерно-технических специальностей.

УДК 517.2

© ФГБОУ ВПО «Новгородский

государственный университет

имени Ярослава Мудрого», 2011

© , составление 2011

1. ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК

Определение. Гармониками называются комплекснозначные функции вида , где – действительная переменная,

- частота гармоники, Т – период,

При гармоника называется несобственной, при имеем собственные гармоники.

Свойства

1. Периодичность гармоники

Гармоники являются периодическими функциями с периодом Т.

Доказательство. Имеем

.

2. Интегральное свойство гармоники

, где – любое число.

Доказательство

а) При имеем

б) Если , то

2. ПОНЯТИЕ РЯДА ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом. Числа называются коэффициентами ряда.

Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на , если коэффициенты ряда вычисляются по формулам

. (2)

Теорема (Необходимый признак представительности функции тригонометрическим рядом)

Для того, чтобы функция была представима на тригонометрическим рядом вида , необходимо, чтобы этот ряд являлся рядом Фурье, т. е. чтобы коэффициенты вычислялись по формулам , .

Доказательство

Пусть функция представима на тригонометрическим рядом .

Умножим обе части этого равенства на :

.

Предполагая возможность интегрирования под знаком ряда, проинтегрируем по промежутку :

.

Т. к.

, то

.

Заменив k на n, получим (1).

3. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ

Определение 1. Функция называется кусочно-непрерывной на , если она непрерывна на этом промежутке или имеет на нем конечное число разрывов I рода.

Определение 2. Функция называется кусочно-монотонной на , если она монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна (т. е. функция на имеет конечное число экстремумов).

Определение 3. Говорят, что удовлетворяет условиям Дирихле на , если на является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной.

Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье)

Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на , то ряд Фурье для этой функции сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией:

2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа:

3. В точках и (на концах отрезка) сумме ряда равна

.

Замечания

1. Условиям Дирихле удовлетворяют многие функции, которые встречаются в математике и ее приложениях. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом представимые рядом Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие представимости, но не необходимое.

2. Теорема о периодическом продолжении функции.

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом Т.

Доказательство

при любом х.

Т. о., график функции есть график периодической функции на всей числовой оси. Говорят, что периодически продолжает на всю числовую ось функцию , заданную на .