Ряды Фурье (стр. 4 )

а) В частности, функцию можно доопределить четным образом (т. е. чтобы при ). В этом случае функция разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы.

б) Если же функцию продолжить на нечетным образом, то она разлагается в ряд Фурье только из синусов.

Пример 6. Разложить функцию в ряды Фурье, содержащие только синусы или только косинусы.

1) Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжим ее на интервал четным образом.

Тогда для любого . Согласно формулам (10):

, .

Если , то ;

если , , то

.

При .

Итак, .

Это разложение справедливо во всей области определения данной функции. На отрезке график суммы полученный ряд отличается от графика данной функции точкой с координатами .

2) Продолжим данную функцию на интервал нечетным образом, чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только синусы.

Тогда ,

.

Если , то ;

если , то если .

Итак, искомое разложение в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы, имеет вид .

9. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ,

ЗАДАННЫХ НА

До сих пор мы рассматривали разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке. Теперь рассмотрим разложение в ряд Фурье функций, заданных на всей числовой оси.

а) Известно, что если функция имеет период Т и интегрируема на отрезке , то

при любых и .

Поэтому, если является периодической функцией с периодом Т, то для представления ее рядом Фурье, достаточно рассматривать любой промежуток длиной Т. В этом случае график на всей числовой оси совпадает с графиком в точках непрерывности.

Пример 7. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию при ; .

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, что дает возможность получить ее разложение в ряд Фурье. Она является четной. Все коэффициенты . Коэффициент вычисляем по формулам (10), положив :

,

(дважды применена формула интегрирования по частям)

.

Следовательно,

.

Это разложение данной периодической и всюду непрерывной функции справедливо при любом , т. е. полученный ряд Фурье сходится к данной функции на всей числовой оси. Графики данной функции и суммы ее ряда Фурье полностью совпадают.

Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию при ; .

Решение. Функция нечетная, поэтому все коэффициенты ;

.

Следовательно,

.

Полученное разложение данной функции справедливо во всей ее области непрерывности, т. е. при всех значениях , кроме , В точках разрыва по теореме Дирихле сумма полученного ряда равна 0 (это же очевидно потому, что в этих точках все члены ряда обращаются в 0). Графики суммы ряда и данной функции отличаются точками с абсциссами . У графика данной функции ординаты этих точек равны -1; а у графика суммы ряда они равны 0.

б) Пусть - непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть периодическая функция и, следовательно, не может быть равна при всех .

Однако непериодическая функция может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке , на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Сумма этого ряда во всех точках отрезка (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией . Вне этого промежутка сумма ряда и являются различными функциями.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции:

а) при ;

б) в интервале ;

в) в интервале .

2. Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции:

а) ;

б) ;

в) .

3. Разложить в интервале по синусам кратных дуг функцию . Полученное разложение использовать для суммирования числовых рядов:

а)

б)

в) .

4. Разложить в неполные ряды Фурье

а) по синусам

б) по косинусам

функцию при .

РГЗ

1. Разложить функцию при в интервале , определить сумму ряда в точке разрыва и на концах интервала, построить график самой функции и суммы ряда (также и вне интервала ).

2. Написать ряд Фурье для функции на отрезке .

3. Разложить в ряд Фурье по косинусам при .

Библиографический список

1.  Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т.1и Т.2. /, , . М.: Наука, 2003.

2.  Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов/. М.: АСТ: Астрель, 2003.

3.  Кузнецов, Л. А. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие для вузов / . - 11-е изд., стер. –СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2008.

4.  Сборник задач по математике: для втузов : учеб. пособие: в 4 ч. / под ред.: и . – 5-е изд. - М.: Физматлит, 2009

5.  Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие для вузов. В 2 т. Т.2./. М.: Интеграл-Пресс, 2002.

6.   Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учебник: в 3-х т. Т.2. / . - 9-е изд., стер. СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009.

СОДЕРЖАНИЕ

1.  Понятие и свойства гармоник 4

2.  Понятие ряда Фурье в комплексной форме 4

3.  Теорема Дирихле 6

4.  Ряд Фурье в вещественной форме 8

5.  Ряд Фурье для функций, заданных на

промежутке 12

6.  Ряд Фурье для функций, заданных на промежутке 13

7.  Ряд Фурье для четных и нечетных функций 14

8.  Ряд Фурье для функции, заданной на 16

9.  Разложение в ряд Фурье функций, заданных на 19

Задания для самостоятельной работы 22

РГЗ 23

Литература 24