Вероятность и статистика в школьном курсе математики (стр. 6 )

Алгебра событий

В этой главе мы узнаем, что события, как и числа, можно складывать, вычитать и даже умножать – lдругими словами, выполнять над ними некоторые операции. Для тех, кто уже знаком с элементами теории множеств, это не будет слишком большой новостью: ведь события можно рассматривать как множества, а соответствующие операции для множеств хорошо известны – объединение, вычитание, пересечение.

Но самый интересный вопрос – что происходит с вероятностями событий, когда над ними производятся все эти операции. Будет ли вероятность суммы событий равна сумме вероятностей? А вероятность произведения – произведению? На все эти вопросы мы и будем искать ответ в этой главе.

7.1. Диаграммы Эйлера

Множество и его элементы

Принадлежность и включение

Множество и его подмножества

Количество подмножеств

Диаграммы Эйлера

Пример 1. Множество натуральных чисел и его подмножества

Пример 2. Множества квадратов, прямоугольников и параллелограммов

Операции над множествами

Объединение множеств

Пересечение множеств

Разность множеств

Дополнение к множеству

Пример 3. Четные и простые числа

Пример 4. Операции на диаграмме Эйлера

	НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
Множество и его элементы	Вы уже знаете, что множеством в математике называют любую (может быть, даже бесконечную) совокупность каких-либо элементов: предметов, чисел, геометрических фигур и т. д. Если количество элементов в множестве конечно и не очень велико, то его можно описать простым перечислением всех элементов. Например: {математика, физика, география, биология, физкультура}. Два множества совпадают, если содержат один и тот же набор элементов. Учтите, что одинаковые множества могут быть по-разному описаны словами. Например, фразы «все натуральные числа, не превосходящие 10» и «все однозначные натуральные числа» описывают одно и то же множество Среди всех множеств особо выделяют пустое множество, которое вообще не содержит ни одного элемента. Его обозначают специальным символом . Принято обозначать множества большими латинскими буквами, а его элементы – маленькими.
Принадлежность и включение	Чтобы показать, что элемент содержится в множестве используется специальное обозначение: (читается: элемент принадлежит множеству ). Если все элементы одного множества содержатся в другом множестве , то говорят что содержится в (или включено в ) и пишут . Если при этом не совпадает с , то такое включение называют собственным и обозначают .
Множество и его подмножества	Множество называют подмножеством множества , если . Очень часто возникает ситуация, в которой необходимо перечислить все возможные подмножества данного множества или посчитать их количество. Попробуем, например, перечислить все возможные подмножества множества из трех элементов : ­  прежде всего, это пустое множество ; ­  одноэлементные подмножества: ; ­  двухэлементые подмножества: ; ­  трехэлементное подмножество только одно – это само множество . Всего получили 8 подмножеств. Итак, у трехэлементного множества 8 подмножеств. А сколько подмножеств у N-элементного множества?
Количество подмножеств	Рассмотрим множество , состоящее из N элементов: }. Попробуем закодировать любое его подмножество двоичной последовательностью, состоящей из 0 и 1: если элемент входит в подмножество, то первая цифра последовательности равна 1, если нет – 0. Точно также поступаем для второго элемента, третьего и т. д. Для каждого подмножества получаем свою последовательность из нулей и единиц. Так, в рассмотренном выше примере получим следующие последовательности для каждого из восьми рассмотренных подмножеств: ­  пустое множество – 000; ­  одноэлементные подмножества – 100, 010, 001; ­  двухэлементые подмножества – 110, 011, 101; ­  трехэлементное подмножество – 111. Таким образом, каждому подмножеству соответствует своя двоичная последовательность длины , а каждой такой последовательности – свое подмножество. Количество двоичных последовательностей длины мы уже считали ранее, когда изучали правило умножения – их будет . Значит, и подмножеств будет ровно столько же: количество подмножеств N-элементного множества = .
Диаграммы Эйлера	Мы уже использовали для изображения множеств и соотношений между ними специальные диаграммы – диаграммы Эйлера. Напомним, что каждое множество изображается на такой диаграмме в виде круга (или любой другой геометрической фигуры): Все круги находятся внутри прямоугольника, который символизирует некоторое объемлющее множество (так называемый универсум). Все изображенные на диаграмме множества являются его подмножествами.
: Пример 1. Множество натуральных чисел и его подмножества	Рассмотрим множество всех натуральных чисел. В математике его обозначают всегда буквой (от слова natural). Понятно, что оно бесконечно. В этом множестве есть много интересных подмножеств, некоторые из которых вам хорошо знакомы: подмножество всех четных чисел, подмножество всех простых чисел, подмножество чисел Фибоначчи. А есть и много других: совершенные числа, числа Мерсенна и т. д. Поскольку само множество бесконечно, то и бесконечным будет и количество его подмножеств.
: Пример 2. Множества квадратов, прямоугольников и параллелограммов	В математике рассматривают не только числовые множества. Так, в геометрии можно рассматривать множества различных фигур. Например, множество всех квадратов, которые можно нарисовать в данной плоскости; множество всех прямоугольников; множество всех параллелограммов и т. д. Все перечисленные множества можно рассматривать как подмножества в множестве всех многоугольников.
Операции над множествами	Оказывается, между множествами и числами есть много общего. Например, над множествами, так же, как над числами, можно совершать операции. Только называются и обозначаются они по-другому. В результате каждой такой операции получается новое множество. Основными операциями являются объединение, пересечение, разность и дополнение.
Объединение множеств	Объединением множеств и называется новое множество , которое состоит из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств или . Обозначение: . На диаграмме Эйлера объединение будет выглядеть так:
Пересечение множеств	Пересечением множеств и называется новое множество , которое состоит из всех элементов, входящих в каждое из множеств и . Обозначение: . На диаграмме Эйлера пересечение будет выглядеть так:
Разность множеств	Разностью множеств и называется новое множество , которое состоит из всех элементов, входящих в множество , но не входящих в множество . Обозначение: . На диаграмме Эйлера разность будет выглядеть так:
Дополнение к множеству	Дополнением к множеству называется новое множество, которое состоит из всех элементов, не входящих в множество . Дополнение к множеству обозначается . Если обозначить универсум буквой , то можно записать: . На диаграмме Эйлера дополнение будет выглядеть так:
: Пример 3. Четные и простые числа	Рассмотрим в качестве универсума множество , а в качестве подмножеств ­  {четные числа}={2,4,6}; ­  {простые числа}={2,3,5}. Тогда: ­  ={2,3,4,5,6}; ­  {2}; ­  {4,6}; ­  {3,5}; ­  {1,3,5}; ­  {1,4,6}.
: Пример 4. Операции на диаграмме Эйлера	В этом примере вы можете увидеть, как выглядят на диаграмме Эйлера результаты выполнения следующих теоретико-множественных операций: ­  ­  ­  ­
	ТЕСТЫ
Вопрос №1	, . Отметьте элементы : ÿ a; ÿ b; ÿ c; ÿ d; ÿ e; ÿ f; ÿ g; ÿ h.
Вопрос №2	, . Отметьте элементы : ÿ a; ÿ b; ÿ c; ÿ d; ÿ e; ÿ f; ÿ g; ÿ h.
Вопрос №3	, . Отметьте элементы : ÿ a; ÿ b; ÿ c; ÿ d; ÿ e; ÿ f; ÿ g; ÿ h.
Вопрос №4	Множество A состоит из a элементов, множество B – из b элементов, а их пересечение – из c элементов. Из скольких элементов состоит их объединение?
	ПРАКТИКУМ
: Задание №1	Множество A состоит из трех элементов, а множество B – из четырех. Из скольких элементов может состоять их объединение?
: Задание №2	Множество A состоит из трех элементов, а множество B – из четырех. Из скольких элементов может состоять их пересечение?
: Задание №3	Во время футбольного матча «Спартак» - «Ливерпуль» выяснилось, что из 22-х игроков на поле 18 знают английский язык и 14 – русский. Сколько игроков знают только английский язык? Только русский? Сколько игроков знают оба языка?
: Задание №4	На диаграмме Эйлера изображены два множества A и B. Закрасьте множества: а) ; б) ; в) .
: Задание №5	На диаграмме Эйлера изображены три множества A, B и С. Закрасьте множества: а) ; б) ; в) .
: Задание №6	На диаграмме Эйлера изображены два множества A и B. Какими формулами можно задать область диаграммы, закрашенную в а) красный цвет; б) синий цвет; в) зеленый цвет?
: Задание №7	На диаграмме Эйлера изображены три множества A, B и C. Какими формулами можно задать область диаграммы, закрашенную в а) красный цвет; б) синий цвет; в) зеленый цвет?
: Задание №8	Расположите множества A, B и C на диаграмме Эйлера так, чтобы каждые два множества имели непустое пересечение, а .
: Задание №9	С помощью диаграмм Эйлера выясните, какие из следующих равенств верные: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
	ИССЛЕДОВАНИЯ
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА	Операции объединения, пересечения и разности для множеств во многом аналогичны операциям сложения, умножения и вычитания для чисел. Вспомните законы, которым подчиняются числовые операции. Выпишите аналогичные законы для множеств. Какие из них выполняются? Докажите их с помощью диаграмм Эйлера.

7.2. Противоположное событие и его вероятность

Событие как множество благоприятных исходов