Вероятность и статистика в школьном курсе математики (стр. 19 )

Вычисление размаха по таблице частот

Пример 2. Дисперсия оценок по географии

Вычисление дисперсии по таблице частот

Вычисление дисперсии в MS Excel

Пример 3. Дисперсия количества детей

Вычисление размаха и дисперсии по интервальной таблице

Пример 4. Разброс при измерении веса портфелей

	НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
	Как и для средних характеристик, выясним теперь, как вычислять размах, дисперсию и стандартное отклонение по таблице частот. Обратимся для этого к уже знакомому нам примеру с оценками по географии.
Пример 1. Размах оценок по географии	Перейдем от исходного ряда оценок 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5 к таблице частот: Оценка Абсолютная частота Относительная частота 2 1 0,1 4 3 0,3 5 6 0,6 10 1 Вычислить размах теперь не составляет труда: поскольку в первой графе таблицы все значения исходного ряда выписаны по возрастанию, то нужно вычесть из последнего значения первое:
Вычисление размаха по таблице частот	Итак, для вычисления размаха по таблице частот нужно взять последнее (максимальное) из значений ряда и вычесть из него первое (минимальное). Таким образом, при вычислении размаха частоты значений, полученных в выборке, не учитываются.
Пример 2. Дисперсия оценок по географии	Вернемся снова к примеру с оценками. Мы уже находили для него дисперсию в предыдущем параграфе: Если использовать вместо ряда таблицу частот, то каждое слагаемое нужно включить в эту сумму такое же количество раз, какова его абсолютная частота: . В числителе этой дроби стоят квадраты отклонений для различных значений ряда, умноженные на их абсолютные частоты. Если поделить почленно числитель нашей дроби на знаменатель, то получится еще одна формула для дисперсии, в которой используются уже не абсолютные, а относительные частоты: .
Вычисление дисперсии по таблице частот	Запишем полученные формулы в общем виде. Пусть - все различные значения, встречавшиеся в выборке; - их абсолютные частоты; - их относительные частоты: Значения Абсолютная частота Относительная частота … … … Тогда дисперсия выборки может быть найдена по любой из двух формул: или
Вычисление дисперсии в MS Excel	При подсчете дисперсии по таблице частот функция ДИСПР() в MS Excel уже неприменима! Ее использование неизбежно приведет к ошибке (вы найдете среднее арифметическое квадратов отклонений различных значений ряда без учета их частоты). Для правильного подсчета следует добавить к таблице частот еще два столбца: столбец с квадратами отклонений от среднего и столбец, содержащий произведения этих квадратов на их относительную частоту. После этого найти сумму чисел в последнем столбце: Значения Абсолютная частота Относительная частота Квадраты отклонений Произведения … … … … … В следующем примере показано, как это сделать в реальной ситуации.
Пример 3. Дисперсия количества детей	На ³ представлены данные Всероссийской переписи по количеству детей у женщин, проживающих в городе и на селе. В таблице показано, как посчитать дисперсию этого распределения для каждой из двух выборок. ? В какой из выборок дисперсия больше? Как это можно объяснить?
Вычисление размаха и дисперсии по интервальной таблице	При вычислении размаха по интервальной таблице частот следует взять разность правой границы самого последнего интервала и левой границы самого первого. При вычислении дисперсии вместо интервалов следует использовать их середины, т. е. полусуммы концов каждого интервала.
Пример 4. Разброс при измерении веса портфелей	Вернемся к примеру с портфелями первоклассников. Мы уже считали характеристики разброса по полученной выборке. Сделаем то же самое по таблице частот, в которой все данные сгруппированы в четыре интервала: Масса портфеля Абсолютная частота Относительная частота от 1 до 2 кг 6 0,3 от 2 до 3 кг 10 0,5 от 3 до 4 кг 3 0,15 от 4 до 5 кг 1 0,05 Размах, очевидно, равен 5 - 1 = 4. Для подсчета дисперсии дополним таблицу нужными столбцами (см. ³) и найдем: дисперсия – 0,6475, стандартное отклонение – 0,804674. Напомним, что точные значения размаха, дисперсии и стандартного отклонения составляют, соответственно, 3,15; 0,48561875; 0,696863509. Как видите, ошибка довольно большая и связана она, как и в случае со средними значениями, с заменой точных значений, полученных в выборке, на середины интервалов, в которые они попадают.
	ТЕСТЫ
Вопрос №1	При вычислении дисперсии по таблице частот нужно найти для каждого значения  ?  отклонения от среднего, умножить его на  ?  частоту, а затем сложить все полученные величины.
Вопрос №2	При вычислении дисперсии по интервальной таблице частот вместо интервалов следует использовать их  ? .
Вопрос №3	Найдите размах и дисперсию ряда, заданного таблицей относительных частот: Значение -1 0 1 Относительная частота 0,25 0,5 0,25
Вопрос №4	В течение года Лена получила следующие отметки за контрольные по алгебре: две «двойки», две «тройки», две «четверки» и две «пятерки». Найдите размах и дисперсию ее оценок.
	ПРАКТИКУМ
: Задание №1	В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора: Возраст (лет) 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Число участников 3 6 5 1 2 3 2 2 1 Найдите его размах, дисперсию и стандартное отклонение.
: Задание №2	В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований: Рост (см) [160;165) [165;170) [170;175) [175;180) [180;185) [185;190) Число участников 5 12 19 25 10 7 Найдите его размах, дисперсию и стандартное отклонение.
: Задание №3	Президент компании "Альфа" получает зарплату 100 000 р. в месяц, пятеро его заместителей получают по 20 000 р., а 20 служащих - по 10 000 р. Президент компании "Бета" получает зарплату 200 000 р. в месяц, пятеро его заместителей получают по 50 000 р., а 20 служащих - по 9 000 р. Найдите среднюю зарплату, дисперсию и стандартное отклонение зарплат на каждом предприятии. Используйте для этого электронную таблицу MS Excel.
: Задание №4	Вернемся к данным о количестве детей в семьях Россиянок, участвовавших в последней переписи населения. Перед вами полигоны частот, построенные для распределения женщин по количеству детей в 9-ти возрастных группах. Попробуйте определить по виду полигонов, в какой возрастной группе дисперсия наибольшая, в какой наименьшая. Проверьте себя соответствующими вычислениями.
: Задание №5	В таблице приведены официальные данные ГКС о распределении населения России по уровню доходов с 2002 по 2006 год. Найдите по этим данным, как за этот период изменялись за это время дисперсия и стандартное отклонение доходов среднестатистического Россиянина.
: Задание №6	Одним из электронных журналов был проведен опрос, в котором каждый подписчик должен был указать название своего любимого Web-сайта и свой месячный доход. В результате была получена таблица, представленная ниже. Определите сайты, для которых характерны самый однородный и самый неоднородный по денежным доходам состав посетителей.
: Задание №7	В таблице содержатся статистические данные о возрасте женщин, ставших матерями в г. Москве в течение 2002 года с разделением их по округам. Найдите по эти данным самый однородный и самый неоднородный по возрасту округ.
: Задание №8	Перед вами данные Росстата о возрастном составе населения России с 2001 по 2004 годы. Выясните, как за этот период изменялся средний возраст населения и его дисперсия. Видна ли какая-то тенденция? Постройте соответствующие гистограммы частот и сравните их между собой.
2 Задание №9	Докажите, что для любого числового ряда стандартное отклонение не больше, чем его размах.
	ИССЛЕДОВАНИЯ
ЦЕНЫ НА АВТОМОБИЛИ	Выберите любую популярную модель автомобиля и с помощью сети Интернет получите выборки по ценам на эту модель на российском и зарубежных рынках. Найдите средние характеристики этих выборок и характеристики разброса. Сравните их между собой. Где средняя цена выше? Где выше разброс цен? Как вы думаете, почему?

[1] Вы скажете, что после изучения темы 3 готовы ответить на этот вопрос и без проведения опытов – и будете правы – но только для правильных кубиков! А если в одном из кубиков находится дробинка, смещенная от центра?