Глава 5. Полярная система координат (стр. 2 )

Упражнение. Построить точки, заданные полярными координатами:

, , , .

§2. Связь между декартовой и полярной системами координат.

В некоторых случаях приходится одновременно пользоваться и декартовой, и полярной системами координат.

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось Ох направить по полярной оси, то прямоугольные координаты x и y точки М и ее полярные координаты r и j связаны следующими формулами (рис. 3):

, (1)

. (2)

 

Рис. 3

Из этих формул следует, что

, (3)

Формула определяет два угла j и (j + p) в пределах одной окружности. Формулы (3) уточняют, какой из этих углов необходимо выбрать. Эти соотношения позволяют находить декартовы координаты точки по заданным полярным, а также решать обратную задачу.

П р и м е р 1. Найти декартовы координаты точек, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось направлена по оси абсцисс: , , .

Решение. Подставляя полярные координаты точек в формулы (1), найдем их декартовы координаты:

а) для точки :

;

б) для точки :

;

в) для точки :

.

Примечание.

По формулам приведения имеем:

(II четверть)

(II четверть)

или

или

П р и м е р 2. Найти полярные координаты точек, если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось - с положительным направлением оси абсцисс:

, , .

Решение. По формулам (2) имеем:

а) для точки :

(I четверть)

б) для точки :

(IV четверть)

 

или

в) для точки :

(II четверть)

 

находится во II

четверти (рис. 4.)

Так как

II

 

Рис. 4

Ответ: .

Упражнения

1. Построить точки, заданные полярными координатами: Найти декартовые координаты этих точек.

Ответы: .

2. Найти полярные координаты точек:

.

Ответы: .

3. Найти полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам:

.

Ответы: .

§3. Полярные уравнения линий.

Важнейшим понятием геометрии является понятие уравнения линии.

Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Линия, определенная данным уравнением (в некоторой системе координат), есть геометрическое место всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Так как величины x и y рассматриваются как координаты переменной точки, то их называют текущими координатами.

Текущие координаты следует обозначать другими буквами, если используется другая, не декартова система координат.

Так, в полярной системе координат линия задается уравнением F(r;j) = 0, связывающим полярные координаты ее текущей точки. Если возможно, то уравнение разрешают относительно r. Тогда полярное уравнение принимает вид: r = r(j).

Если функция r(j) непериодическая, то углу j придают все возможные для данной функции значения, не ограничиваясь изменением его только в пределах первого периода.

Чтобы перейти от уравнения линии F(x,y)=0 в декартовых координатах к ее полярному уравнению, необходимо подставить в декартово уравнение вместо х и у их выражения из формулы (1).

Обратный переход от полярного уравнения F(r;j)= 0 к декартову уравнению той же линии осуществляется с помощью формул (2) и (3).

П р и м е р 1. Найти полярное уравнение прямой х = 1.

Решение. Обратим внимание, что прямая проходит через I и IV четверти (рис. 5). Известно, что х=r×cosj [формула (1)], тогда полярные координаты связаны следующим условием для данной прямой:

.

Это и есть уравнение данной прямой в полярной системе координат.