Глава 5. Полярная система координат (стр. 3 )

 

Рис. 5

Так как r - величина положительная, то дробь также положительна, а это означает, что , т. е. угол j может меняться в пределах I и IV четвертей, а значит данная прямая проходит через I и IV четверти.

П р и м е р 2. Найти полярное уравнение прямой, не проходящей через начало координат.

Решение. Из аналитической геометрии известно нормальное уравнение прямой: , где р - расстояние от начала координат до прямой, a - полярный угол нормали ОВ (ОВ ^ l ) (рис. 6).

 

Рис. 6

Заменяя х и у на r и j по формулам (1), получим: или .

По условию прямая не проходит через начало координат, поэтому ее расстояние p от начала координат отлично от 0. Тогда из последнего равенства следует, что при любом j и .

Полярное уравнение данной прямой - .

П р и м е р 3. Дано полярное уравнение линии: (лемниската Бернулли). Найти ее уравнение в декартовой системе координат.

Решение. Воспользуемся формулой тригонометрии для синуса двойного аргумента и подставим в уравнение линии:

.

.

Тогда или - уравнение данной линии в декартовой системе координат.

П р и м е р 4. Что представляют собой линии, заданные в полярной системе координат: (I) и (II).

Решение.

I.   Геометрическое место точек, для которых r - расстояние до полюса постоянно, есть окружность. Уравнение определяет окружность радиуса с центром в полюсе О.

II. Уравнению удовлетворяют все точки полупрямой (луча), проведенной из полюса под углом a к полярной оси. При этом вся прямая, проходящая через полюс, записывается в полярной системе координат уравнениями: и .

П р и м е р 5. Какую линию определяет уравнение , где >0, переменные r и j - полярные координаты?

Решение. Обозначим через М точку с полярными координатами и через А - точку с полярными координатами (; 0). Если , то Ð ОМА - прямой, и обратно (рис. 7).

 

Рис. 7

Следовательно, геометрическое место точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению , представляет собой окружность с диаметром ОА.

П р и м е р 6. Какую линию определяет полярное уравнение ?

Решение. Так как r и - положительные величины, угол j может изменяться только в положительную сторону. При также и , т. е. данная линия выходит из полюса. При возрастании угла j от О также пропорционально возрастает и r.

Следовательно, текущая точка данной линии, исходя из полюса, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. В результате точка М описывает спираль, называемую спиралью Архимеда (рис. 8).

2πa

Рис. 8

За один оборот точка перейдет в новое положение , где , а . Поэтому расстояние между точками М и есть величина постоянная. Таким образом, спираль Архимеда рассекает каждый полярный луч на равные отрезки длины , не считая отрезка, примыкающего к полюсу.

П р и м е р 7. Дано уравнение лемнискаты в декартовой системе координат: . Составить полярное уравнение лемнискаты и построить кривую.

Решение. Переходим к полярным координатам с помощью формул и .

Тогда получим:

или - уравнение лемнискаты в полярных координатах.

Для построения кривой находим из этого уравнения . Из того, что в правой части равенства стоит двойной знак (), а также из того, что уравнение не меняется при замене j на (-j), заключаем, что лемниската расположена симметрично относительно осей Ох и Оу. Исследуем форму лемнискаты для I четверти, т. е. для случая , . Для этих значений r и j имеем: . Очевидно, что j может изменяться только в промежутке от 0 до . Таким образом, соответствующая часть кривой заключена между полярной осью и лучом . Если , то . С возрастанием j от 0 до величина r убывает до значения r = 0. Учитывая симметрию, можно построить лемнискату (рис. 9).

 

Рис. 9

П р и м е р 8. Дано полярное уравнение линии . Построить эту линию по точкам, задавая углу j значения через промежуток (шаг). Найти ее декартово уравнение, расположив декартову систему координат так, как показано на рис. 3.