Глава 5. Полярная система координат

§1. Полярная система координат на плоскости.

Полярные координаты.

Положение точки на плоскости может быть задано не только декартовыми прямоугольными координатами, но и другими способами.

Довольно часто применяется так называемая полярная система координат. Полярная система координат определяется заданием точки О, которая называется полюсом, луча ОА, который выходит из этой точки и называется полярной осью, а также масштаба для измерения длин.

Пусть М - произвольная точка плоскости (рис. 1). Обозначим через r расстояние от точки М до полюса O ( r =úOM ê) и через j - угол, который будем отсчитывать от полярной оси против часовой стрелки (j = =ÐAOM).

j
 

r, , ,,
 

M
 

r
 
 

j
 

O

A
 
 

Рис. 1

Числа r и j называются полярными координатами точки М относительно заданной системы: r - полярный радиус (первая координата); j - полярный угол (вторая координата).

По определению величина r положительная. Задание полярного радиуса и полярного угла определяет положение точки на плоскости единственным образом.

Если же надо указать полярные координаты какой-нибудь точки на плоскости, то ей будет соответствовать единственное значение полярного радиуса r и бесконечное множество значений полярного угла, т. е. полярный угол определяется неоднозначно: , где ( Z).

Среди возможных значений полярного угла точки М выделяют одно определенное значение угла , которое удовлетворяет неравенствам: (или ). Ограничение изменения угла дает возможность на практике для каждой точки плоскости указать также однозначно ее полярные координаты. Можно сказать, что в качестве главного значения полярного угла берется угол, на котором нужно повернуть луч ОА до совмещения с лучом ОМ, но делая при этом поворот не более чем на 1800 в ту или другую сторону. Исключение составляет только полюс О, для которого r = 0, а угол не имеет определенного значения.

П р и м е р. Построить точки, заданные полярными координатами:

, , , .

Порядок построения: на плоскости указать точку О (полюс) и луч ОА, который выходит из точки О (полярная ось); указать единицу длины. После этого от луча ОА, отложить заданный угол и построить луч ОМ, на котором, используя масштаб, указать точку так, чтобы длина отрезка соответствовала первой координате точки.

Построение точек показано на рис. 2.

M
 

 
 

1
 

O
 

 

 

B
 

E (2; 0)
 

 
Рис. 2

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4