Глава 5. Полярная система координат (стр. 4 )

Решение. Поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна, то угол j может изменяться только в тех пределах, для которых , т. е. (I четверть) и (III четверть). На рис. 10 представлен график функции и заштрихованы области, соответствующие значениям аргумента, принадлежащих I и III четвертям. При изменении аргумента от 0 до 2p значение функции неотрицательно только для и .

 

Рис. 10

Результаты вычисления значений r (с точностью до 0,01) внесем в таблицу. Пусть значение аргумента j изменяется от 0 до с шагом .

Таблица

№ точек	j	2j
1	0	0	0	0
2			0,50	2,12
3			0,87	2,79
4			1	3
5			0,87	2,79
6			0,50	2,12
7		p	0	0

Для построения линии проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям j, и на каждом луче откладываем вычисленные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой (рис. 11).

При изменении угла j в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти, т. е. линия будет расположена симметрично относительно начала координат.

Построенная линия носит название лемнискаты Бернулли.

Найдем уравнение этой линии в декартовой системе координат.

.

Из формул (2) и (3):

.

 Þ Þ

- уравнение линии в декартовой системе координат.

M6

M5

M4

M3

M2

( I )

1

O

Y

 

X

0

( III )

Рис.11

Очевидно, что строить данную линию проще, используя полярную систему координат.

Упражнения

1. В полярной системе координат составить уравнение окружности с центром в полюсе.

Ответ: .

2. Найти полярное уравнение прямой (см. пример 2).

Ответ: .

3. Найти полярное уравнение окружности .

Ответ: .

4. Построить по точкам, задавая углу j значения через промежуток , кардиоиду (>0). Написать декартово уравнение кардиоиды.

Ответ:

5. На спирали Архимеда взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки C. Сделать чертеж.

Ответ: на пять частей.