| Российский Университет Дружбы народов Факультет физико-математических и естественных наук Кафедра нелинейного анализа и оптимизации |
117198, Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, кк. 511-514,
АЛГЕБРА (3 семестр)
Обязательный курс
Объем учебной нагрузки: 36 час. - лекции, 36 час. – семинары.
Программа курса
1. Факторпространства векторных пространств
Факторпространство векторного пространства. Универсальное свойство факторпространства и его следствия. Теорема о гомоморфизмах для векторных пространств. Связь факторпространств и линейных дополнений. Размерность факторпространства. Коразмерность. Связь матрицы оператора с матрицами его ограничения на инвариантное подпространство и индуцированного им оператора в факторпространстве.
2. Строение линейных операторов
2.1. Свойства нильпотентных операторов
Нильпотентные операторы. Спектр и характеристический многочлен нильпотентного оператора.
2.2. Корневые подпространства
Корневые подпространства линейного оператора. Их инвариантность. Связь между корневыми и собственными подпространствами. Линейная независимость корневых подпространств. Теорема о размерности корневого подпространства. Теорема о разложении пространства в прямую сумму корневых подпространств в случае алгебраически замкнутого поля.
2.3. Циклические операторы
Циклические подпространства, циклические операторы. Теорема о строении нильпотентного циклического оператора. Жордановы клетки и одноклеточные операторы.
2.4. Жорданова нормальная форма
Теорема о разложении нильпотентного оператора в прямую сумму циклических. Теорема о разложении произвольного оператора в прямую сумму одноклеточных. Ее «матричная переформулировка»: теорема о жордановой нормальной форме (существование жорданова базиса). Единственность жордановой нормальной формы.
3. Группы
3.1. Первоначальные определения и примеры
Группы. Примеры. Группа обратимых элементов кольца. Группы преобразований и их примеры (группы линейных операторов, группа движений евклидова пространства, группа диэдра). Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Образ и прообраз подгруппы. Ядро и образ гомоморфизма.
3.2. Циклические группы
Циклические группы. Порядок элемента в группе. Его свойства. Теорема о классификации циклических групп. Теорема о подгруппах циклической группы.
3.3. Смежные классы, нормальные подгруппы и факторгруппы
Разбиение группы на левые и правые смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы. Формула Лагранжа. Ее следствия; малая теорема Ферма. Нормальные подгруппы. Факторгруппа. Характеризация нормальных подгрупп как ядер гомоморфизмов. Универсальное свойство факторгруппы. Теорема о гомоморфизмах групп. Примеры ее использования.
3.4. Действия групп на множествах
Действие группы на множестве. Действия как гомоморфизмы в группу перестановок. Эффективные действия. Примеры действий. Внутренние автоморфизмы. Центр группы. Орбиты действия. Классы сопряженности как орбиты. Транзитивные действия; примеры. Морфизмы G-множеств. Стабилизатор точки. Теорема об изоморфизме между орбитой точки и множеством левых смежных классов по ее стабилизатору. Характеризация однородных G-множеств как множеств левых смежных классов. Следствия: уравнение классов, нетривиальность центра p-группы.
3.5. Прямые произведения групп
Прямые произведения групп. Критерий разложимости группы в прямое произведение. Примеры. Лемма о факторизации по прямым сомножителям.
3.6. Системы образующих группы
Подгруппа, порожденная подмножеством группы. Её явное описание в случае произвольной группы и в случае абелевой группы. Конечно порожденные группы; примеры.
3.7. Конечно порожденные абелевы группы
Свободные конечно порожденные абелевы группы. Их описание. Теорема о независимости количества элементов базиса от выбора базиса. Ранг. Свойство проективности свободных конечно порожденных абелевых групп. Теорема о подгруппах свободной конечно порожденной абелевой группы. Теорема о согласованных базисах. Теорема о разложении конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп. Подгруппы кручения и p-кручения. Теорема о «единственности» разложения конечно порожденной абелевой группы на бесконечные и примарные циклические слагаемые.
4. Кольца
4.1. Кольца и алгебры: определения и примеры
Кольца и алгебры. Нильпотентные элементы и делители нуля. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец и алгебр. Ядро и образ гомоморфизма. Примеры колец и алгебр. Алгебра кватернионов. Кольцо многочленов с коэффициентами из произвольного кольца с единицей. Многочлены от нескольких переменных и их разложение на одночлены.
4.2. Идеалы и факторкольца
Идеалы в кольцах и алгебрах. Примеры. Двусторонний идеал, порожденный подмножеством кольца. Его явное описание в случае произвольного кольца и в случае коммутативного кольца. Главный идеал. Факторкольца и факторалгебры. Характеризация идеалов как ядер гомоморфизмов. Универсальное свойство факторкольца. Теорема о гомоморфизмах колец. Примеры ее использования.
4.3. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов
Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий делитель. Евклидовы кольца. Примеры. Кольца главных идеалов. Теорема о том, что евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Интерпретация делимости в терминах идеалов. Существование наибольшего общего делителя набора элементов кольца главных идеалов. Взаимно простые элементы. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в евклидовом кольце. Простые элементы целостного кольца. Примеры. Факториальные кольца. Теорема о факториальности колец главных идеалов.
Литература
Обязательная
1. Винберг алгебры. М.: Факториал, 2001.
2. Сборник задач по алгебре. Под ред. . М.: Физматлит, 2001.
Дополнительная
1. Кострикин в алгебру. Т.I. Москва, Физматлит, 2001. Т.II. Москва, Физматлит, 2000. Т.III. Москва, Физматлит, 2004.
2. , Манин алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
3. Алгебра. М.: Мир, 1968.
4. Городенцев . Учебник для студентов-математиков. Часть I. М.: МЦНМО, 2013.
5. Онищик и геометрия. Т.I. М.: МЦНМО, 2004.
6. Dummit, D. S. and Foote, R. M. Abstract algebra. Wiley, 2004.
Программа составлена
к. ф.-м. н., доц. Пирковским Алексеем Юльевичем
Кафедра нелинейного анализа и оптимизации
Факультет физико-математических и естественных наук
