Типовые задания для специальности: «Прикладная математика и информатика» (стр. 3 )

=

В треугольнике =(-27, -87, 10).

Пример 5. Вектор представлен в виде =+, где компланарен векторам и , ^,. Вывести формулу ортогональной составляющей .

Решение. Введем единичный вектор . Рассматривая параллелепипед с рёбрами , , , получаем, что длина вектора высоты ||= . Тогда

Пример 6. Найти вектор высоты тетраэдра с вершинами А (2, 1, 0), В (3, 3, 2), С (2, 2, 3), D (7, -1, 0).

Ответ:

Пример 7. Найти множество векторов, ортогональных векторам (2, -1, 3), (1, -2, 0).

Ответ: Искомый вектор || : {(2l, l, - l)}, "lÎR.

Тренировочные задачи

1.  В правильном шестиугольнике ABCDEF , . Найти векторы малых диагоналей.

2.  В треугольнике Найти векторы высоты медианы биссектрисы

3.  Найти составляющие =+, где компланарен векторам и , ^,, если даны (2, 3, -3), (2, 5, -3), (5, 1, -1).

4.  Найти вершины параллелограмма, если даны середины E (5, 1, -3)ÎAB, H (6, 0, -2)ÎAC и центр М (2, -2, -1).

5.  Найти объем, высоту Н=DK, площадь и высоту h=CL основания АВС тетраэдра с вершинами А (2, -1, 3), В (3, 3, 1), С (5, -5, -1), D (6, -1, 16).

6.  Записать формулы преобразования координат, если дано новое начало О* (1, -2) и угол поворота a=150°. Найти старые координаты точки, если её новые координаты (2, 0).

7.  В треугольнике с вершинами А (0, 1, 3), В (1, -1, 5), С (1, -3, 11) найти координаты векторов высоты , медианы , биссектрисы .

II. Прямая на плоскости

Пример 1. Записать все виды уравнений прямой по точке М0 (2, 5) и направляющему вектору (3, -1).

Решение. Если – радиус-вектор текущей точки М прямой, то векторное уравнение имеет вид: = 2i+5j+t (3i-j) или, кратко, = (2, 5)+ t (3,-1). Отсюда получаем остальные виды:

параметрические:

каноническое:

общее: x+3y-17=0,

нормальное: =0.

Пример 2. Выделить неравенствами тот угол между прямыми в котором лежит точка М0 (1, 2). Найти уравнение биссектрисы этого угла.

Решение. Находим нормальные уравнения:

1) 2)

и отклонения > 0, <0.

Искомый угол определяется условиями >0, <0, наложенными на точку М (x, y), или неравенствами >0, >0.

Уравнение биссектрисы выделяется условием Получаем уравнение

Тренировочные задачи

1.  По сторонам а) b) c) Найти: 1) вершины треугольника, 2) угол А, 3) высоту 4) уравнение 5) уравнение медианы 6) уравнение биссектрисы внутреннего угла А, 7) уравнение прямой

2.  Найти уравнения прямых, проходящих через точку М1 (3, 0) под углом 600 к прямой Найти площадь, образовавшегося треугольника и уравнения прямых, проходящих через вершины М2, М3 параллельно оси ОХ.

3.  Выделить неравенствами область треугольника с вершинами А (2, -1), В (3, 1), С (4, 2).