Лабораторная работа

Анализ устойчивости линейных непрерывных систем управления алгебраическими методами

Цель работы: освоение алгебраических методов анализа устойчивости линейных непрерывных систем управления.

Теоретические сведения

4.1 Понятие «устойчивость системы управления»

Система является устойчивой, если при любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также является ограниченным во все моменты времени. Таким образом, Устойчивость системы гарантирует, чтобы система не «пойдет вразнос». При этом не важно, как меняются внутренние переменные объекта, важны только входная и выходная переменные.

В классической теории устойчивости исследуется не устойчивость системы как таковой, а устойчивость ее так называемого невозмущенного движения, т. е. свободного движение системы без внешнего воздействия. Тогда под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Положением равновесия называют состояние системы, которая находится в покое, т. е. выходной сигнал — постоянная величина, и все его производные равны нулю. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Устойчивость систем

Система автоматического управления может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев. Системы, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми. Это означает, что изменением параметров системы управления нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру, например, с помощью местных обратных связей или включить в систему корректирующие звенья.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Правила, позволяющие судить об устойчивости системы, называются критериями устойчивости. Их можно разделить на алгебраические и частотные.

4.2 Условие устойчивости систем по и корневой критерий устойчивости

Решение дифференциального уравнения ищется в виде:

.

Здесь — решение однородного дифференциального уравнения, т. е. уравнения с нулевой правой частью:

.

  Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения.

— частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Свободная составляющая представляет собой сумму из отдельных составляющих: , где — корни характеристического уравнения.

Корни могут быть либо вещественными, либо комплексно сопряженными . Постоянные интегрирования определяются исходя из начальных условий, подставляя в общее решение значения и их производные в моменты времени и .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая , каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Вид свободного решения уравнения при действительных корнях (фрагмент документа пакета Mathcad)

Пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания, при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис 4.3).

Так как после снятия возмущения , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей . Поэтому условие устойчивости систем по А. М. Ляпунову формулируется так [5, 10]: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, должна стремиться к нулю, т. е. затухать.

Тогда корневой критерий устойчивости: для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения (знаменателя передаточной функции замкнутой системы) имели отрицательные вещественные части (на комплексной плоскости были левыми). Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно-сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Рис. 4.3. Вид свободного решения уравнения при комплексно-сопряженных корнях (фрагмент документа пакета Mathcad)

Необходимое условие устойчивости. Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде:

,

(4.1)

где — корни уравнения.

Если система устойчива, значит все корни левые, т. е. вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как . Подставим их в уравнение:

.

Перемножая комплексно-сопряженные выражения, получим:

.

После раскрытия скобок получится выражение:

.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости системы автоматического управления является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: [12].

Для систем первого и второго порядков это условие одновре­менно является и достаточным. Однако для более высоких порядков поло­жительность коэффициентов не гарантирует отрицательность корней характеристического полинома.

4.3 Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по алгебраическим выражениями, которые составляются по определенным правилам, на основе характеристического уравнения системы. Наиболее распространенным является алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид (4.1).

Из коэффициентов характеристического уравнения строится матрица Гурвица по алгоритму:

— по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до ;

— в каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора , вверх — при убывающих степенях ;

— на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

.

Например, для системы 4-го порядка матрица Гурвица будет иметь вид:

.

Критерий Гурвица: для того чтобы система была устой­чива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные определители матрицы Гурвица имели положительные значения:

, , ... ,.

Если один из определителей равен нулю, то существует хотя бы один нулевой корень, т. е. система находится на границе устойчивости.

Критерий Гурвица применяют при . При больших порядках возрастает число определителей, и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности. Недостаток критерия Гурвица — малая наглядность. Достоинство — удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров системы управления на ее устойчивость.

Задания

Задание 1. Провести эквивалентные преобразования структурной схемы, указанной в индивидуальном задании. Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.

Задание 2. Исследовать устойчивость линейной непрерывной системы по корням характеристического уравнения.

Задание 3. Исследовать устойчивость линейной непрерывной системы с помощью алгебраического критерия устойчивости Гурвица.

Задание 4. Сформулировать выводы о влиянии параметров звеньев системы на ее устойчивость.

Примечание. В лабораторной работе должны быть проанализированы два случая: система устойчивая и система неустойчивая. Для этого студентам необходимо самостоятельно выбрать соответствующие коэффициенты передачи разомкнутой системы.

Контрольные вопросы.

1. Понятие устойчивости системы. Виды устойчивости.

2. Корневой критерий устойчивости систем.

3. Необходимое условие устойчивости систем.

4. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица.