Линейная алгебра.
1.Векторы: действие с векторами. Компланарность векторов.
Вектор – направленный отрезок, имеющий определенную длину, одна точка которого называется началом, а другая концом.
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и направление.
Единичным вектором называется вектор, длина которого равна 1.
Операции над векторами:
Сумма векторов:
Разность векторов:
Умножение вектора на число:
если: 
– вектор 
сонаправлен с вектором 
,
– векторы противоположно направлены.
Не линейные операции:
1.Скалярное произведение двух векторов: 
2.Векторное произведение: 
Свойства вектора 
:
1) длина равна площади параллелограмма, т. е.
.
2) 
; 
.
3) направление вектора должно быть таким, чтобы ближайший поворот от к был направлен против часовой стрелки.
3. Смешанное произведение векторов:
.
Компланарность векторов:
2.Скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение двух векторов – это число равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
Свойства:
1) 
2) 
3) 
4) 
Условие перпендикулярности двух векторов:
.
3. Векторное произведение векторов.
Векторное произведение – вектор, обладающий следующими свойствами:
1) длина равна площади параллелограмма, построенного на и ;
2) 
3) направление должно быть таким, что если смотреть с конца на и , то кротчайший поворот от к должен быть направлен против хода часовой стрелки.
Свойства векторного произведения:
1) 
2) 
3) 
4) если 
, то 
или 
, тогда и – коллинеарны.
4. Смешанное произведение векторов
Смешанное произведение – число
1. 
2. 
.
Смешанное произведение – число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда на векторах 
причем, со знаком «+», если обход от к 
происходит против часовой стрелки; со знаком «–», если обход осуществляется по ходу часовой стрелки.
Свойства смешанного произведения:
1) 
(по круговому принципу)
2) 
(если меняем попарно)
3) 
(вектора компланарны).
5. Неравенство Буняковского-Коши
6. Линейное уравнение. Однородная система
– линейное уравнение
– однородная система.
7. Матрицы: квадратная, диагональная, единичная, нулевая
Матрица размера 
– прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке: в 
– строках и 
– столбцах.
1) 
– квадратная матрица;
2) Квадратная матрица 
, у которой все диагональные элементы равны 1, а остальные равны 0, называется единичной.
3) Нулевая матрица – матрица, все элементы которой равны 0.
,
где 
– главная диагональ.
Диагональная матрица:
.
8. Транспонирование, сложение матриц, производная
1. Транспонирование: 
– меняем местами столбцы и строки.
2. Сложение матриц:
3.Производная матрица:
– исходная
– производная.
9.Законы умножения матриц
а) 
б) 
в) 
10.Определитель матрицы. Алгебраическое дополнение. След матрицы
Определитель матрицы – число, подсчитанное по формуле:
Алгебраическое дополнение элемента Аik – определитель, равный минору, взятый со знаком 
.
Минор: 
След матрицы
11. Неособенная матрица, обратная, симметричная, ортогональная
Неособенная матрица – нормальная матрица, у которой определитель не равен «0». 
Обратной называется такая матрица 
, для которой 
, где Е – единичная матрица.
Симметричная: 
.
Ортогональная – такая квадратная матрица А, для которой: 
.
12. Ранг матрицы. Ранг произведения матрицы
Ранг матрицы – это число линейно независимых строк или столбцов.
– ранг матрицы
Каждый столбец или строка – вектор.
Например: 
Элемент преобразования не меняет ранга матрицы.
Например: 
, тогда 
.
Ранг произведения матриц:
13.Квадратичные формы
1) 
2) 
.
14. Решение систем линейных уравнений
