О некоторых кониках, связанных с треугольником (стр. 2 )

То же, что центроид треугольника G указанной гомотетией переводится в ортоцентр Н, следует из факта существования прямой Эйлера. На ней лежат точки H,G,O – причем G делит отрезок НО в отношении 2:1 (см. [1],[2],[3],[4],[6].)

Теорема о конике задаваемой точками касания вневписанных окружностей с продолжениями сторон

Пусть - точки касания вневписанных окружностей с продолжениями сторон ВС, СА, АВ треугольника АВС.

Тогда эти точки принадлежат одной конике, центр которой Р имеет следующие барицентрические координаты:

.

Доказательство

Обозначим за p полупериметр треугольника ABC. Для доказательства того, что указанные шесть точек лежат на конике, необходимо лишь воспользоваться Следствием (1.1.2), так как . (см. [1],[2],[3],[4],[6])

Координаты точек принимают вид:

Подставив данные координаты в уравнение коники, получим, что[2]

Далее воспользовавшись Теоремой (1.2.2) получаем, что

,,.

Значения G и H довольно длинные, и мы не будем их выписывать, но отметим, что G получается из F посредством циклического сдвига . И точно также из G затем получается Н.

Тогда первая координата центра коники имеет вид:

,

а две другие получаются из нее циклическими сдвигами.

После сокращения на общий множитель получаются заявленные в условии выражения для координат центра.

Но данная коника, в зависимости от длин сторон треугольника может быть как эллипсом, так и гиперболой или параболой, это зависит от знака выражения(Теорема 1.2.2)

, где =

Так как знаменатель дроби положителен, знак зависит от P, при имеем эллипс, при - параболу, и при гиперболу.

Но, как позже выяснилось, центр данной коники, вместе с ней самой указаны в [5].

Эта коника была открыта 20 лет назад известным американским геометром Полем Ю (Paul Yiu), редактором замечательного журнала [7].

Теорема о конике задаваемой точками касания вписанной и вневписанных окружностей

Пусть - точки касания вписанной и вневписанных окружностей со сторонами ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно.

Тогда эти точки принадлежат одной конике, центр которой Р, имеет следующие барицентрические координаты: (две другие получаются из первой циклическими сдвигами ).

Доказательство

Обозначим полупериметр треугольника ABC через p.

Воспользовавшись Следствием (1.1.2) сразу получим то, что данные шесть точек лежать на конике, так как . (см. [1],[2],[3],[4],[6]).

Далее выпишем координаты точек:

Подставив теперь координаты точек в уравнение коники, получим, что

Далее, из Теоремы 1.2.2 получим:

,,..

G получается из F посредством циклического сдвига , тоже самое с Н из G.

Тогда первая координата центра коники имеет вид:

, а две другие получаются из нее циклическими сдвигами.

И после сокращения на общий множитель получаются выражения для координат центра, заявленные в условии.

Данная точка отсутствует в Энциклопедии Треугольных Центров[5].

Данная коника может быть, в зависимости от длин сторон треугольника, как эллипсом, так и параболой или гиперболой.

Когда именно она принимает тот или иной вид, зависит от знака выражения (1.2.2)

, где =

Поскольку знаменатель дроби положителен, имеем эллипс, параболу, гиперболу.

Равноокружностный эллипс

В произвольном треугольнике АВС рассмотрим следующие три пары окружностей (одинаковых в каждой паре):

Первые две равные друг другу окружности вписаны в углы при вершинах В и С соответственно и касаются внешним образом друг друга.

Вторые две касающиеся окружности вписаны в углы С и А.

Третья же пара – в углы А и В. [3].

В конфигурации Пааша отметим точки - точки касания соответствующих пар равных окружностей со сторонами ВС, СА, АВ соответственно.

Тогда эти шесть точек лежат на одной конике, а ее центр М лежит внутри отрезка GI , соединяющего центроид треугольника с инцентром, а прямая, содержащая этот отрезок, называется прямой Нагеля, на ней также лежит и точка Нагеля N.

Также, центроид G делит отрезок NI в отношении 2:1 внутренним образом (см. [1],[2],[3],[4],[5],[6]) и (где, p – полупериметр исходного треугольника, r – радиус вписанной в него окружности, а S – площадь).

Барицентрические координаты центра имеют следующий вид:

- где - длины соответствующих сторон треугольника и величины его соответствующих углов, а - радиусы соответствующих окружностей Пааша.

Доказательство

Пусть - центры рассматриваемых окружностей.

Очевидно, что четырехугольник является прямоугольником. И и . Поэтому,