О некоторых кониках, связанных с треугольником (стр. 1 )

О НЕКОТОРЫХ КОНИКАХ, СВЯЗАННЫХ С ТРЕУГОЛЬНИКОМ

В данной работе было рассмотрено несколько специальных конфигураций, связанных с кониками. Рассмотрено несколько коник, ранее не встречавшихся в работах по элементарной геометрии. Практически все из них связаны с треугольником. Были найдены доказательства существования данных коник, а так же их центры, причем в большинстве случаях получаются точки, отсутствующие в фундаментальной Энциклопедии Треугольных Центров профессора Кларка Кимберлинга (см. [5]).

Теоремы, используемые в работе

Теорема Карно.( см. [1],[6]) (1.1.1)

Пусть . Тогда эти шесть точек лежат на одной конике, если и только если выполнено условие Карно:

Из этой теоремы, можно легко получить два полезных следствия, которые нам пригодятся в дальнейшем.

Следствие 1 (1.1.2)

Пусть шесть точек попарно расположены на прямых, содержащих стороны некоторого треугольника АВС, причем пары векторов и равны по величине и противоположны по направлению.

Тогда эти шесть точек лежат на одной конике.

Доказательство

Рассмотрим, например, «внутренний» случай («внешний» совершенно аналогичен).

Пусть и .

Тогда , и, в силу Теоремы 1.1, рассматриваемые точки принадлежат одной конике.

Следствие 2 (1.1.3)

Если шесть точек, расположенных на сторонах (или их продолжениях) некоторого треугольника можно разбить на две тройки, каждая из которых является основаниями конкурентных чевиан, то существует коника, содержащая эти шесть точек.

Доказательство

Следует дважды применить обратную теорему Чевы (см. [1],[2],[3],[4], [6]) , а затем воспользоваться теоремой Карно:

Уравнение коники в барицентрических координатах.(см. [6]) (1.2.1)

В барицентрических координатах уравнение коники имеет вид:

[1]

Определение вида коники и координат центра по ее уравнению.(см. [6])

(1.2.2)

Пусть уравнение коники задано: .

Введем следующие обозначения:

Тогда вид коники зависит от знака выражения :

Если , то коника является эллипсом, если - параболой, а если - гиперболой.

Центр коники имеет координаты

Теорема о эллипсе растроения

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и поделим каждую из его сторон на три равные части. Тогда точки лежат на конике с центром в точке M — точке пересечения медиан треугольника АВС. Причем диагонали вписанного в конику шестиугольника и отрезки соединяющие середины его противоположных сторон будут делиться этой точкой пополам.

Для доказательства данной теоремы, воспользуемся следствием (1.1.2) теоремы Карно, так как .

Так же, если заметить, что противоположные стороны рассматриваемого шестиугольника параллельны (по теореме Фалеса), то эту теорему можно доказать и по-другому, с помощью обратной теоремы Паскаля (см. [1], [6]), которая формулируется следующим образом:

Если точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны некоторого шестиугольника лежат на одной прямой, то его вершины лежат на одной конике.

А в нашем шестиугольнике противоположные стороны параллельны - т. е., с проективной точки зрения, точки их пересечения лежат на бесконечно удаленной прямой.(см. [1],[2],[6]).

Для того, чтобы доказать, что центром коники является центроид M – мы применим теорему о том, что середины пучка параллельных хорд коники лежат на прямой, проходящей через ее центр (см.[1],[6]).

Очевидно, что диагональ параллельна АС, середина АС, точка - является также и серединой и т. д.(по теореме Фалеса)

Из теоремы Фалеса, так же следует то, что все имеющиеся в условии диагонали и отрезки делятся центроидом пополам, а из этого, то, что медианы делятся цетроидом в отношении 2:1 (см. [3],[4]).

Так же из вышесказанного следует, что полученный шестиугольник является центрально симметричным, с центром симметрии в M.

Теперь докажем, что наша коника действительно всегда будет представлять собою эллипс.

Для этого воспользовавшись Теоремой (1.2.1), составим уравнение коники.

Координаты шести наших точек имеют вид:

Теперь подставив данные координаты в уравнение коники, придем к системе из 6-ти линейных уравнений.

В итоге получим , т. е. уравнение коники имеет вид:

.

И, поскольку и , то , следовательно, по Теореме (1.2.2), наша коника является эллипсом.

Теорема о ортоэллипсе

Из вершины А, произвольного треугольника АВС, проведем два луча, перпендикулярных АВ и АС и таких, что они не пересекают прямую ВС. Затем рассмотрим отрезок , вписанный в угол, образованный этими лучами, причем параллельный и равный отрезку ВС. Отрезки и определяется аналогично. Тогда, точки лежат на эллипсе с центром в точке Н – ортоцентре треугольника АВС.

Противоположные стороны шестиугольника параллельны; диагонали его и отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, проходят через точку Н, которой и делятся пополам.

Данное утверждение получается из Теоремы (2.1), если рассмотреть гомотетию, с центром в точке О – центре описанной окружности треугольника АВС с коэффициентом 2.

Пусть - образы точек В и С при этой гомотетии.

Тогда, поскольку при гомотетии прямые, не проходящие через ее центр, переходят в параллельные. Поэтому, опустив перпендикуляры из точек В и С на прямую , получим прямоугольник с вершинами в этих точках и основаниях перпендикуляров, которые обозначим и . Поэтому и .

Так же, так как (как радиусы описанной окружности), то и , как образы этих отрезков при гомотетии. Следовательно, и прямоугольные треугольники и будут равны (по катету и гипотенузе). Значит, . И, так как , то - т. е. точки и являются образами точек и при рассматриваемой гомотетии. Также доказывается, что точки переходят в точки . Наконец, по самому способу построения, очевидно, что отрезки, и таковы именно, какими мы представили их.