О некоторых кониках, связанных с треугольником (стр. 3 )

и =.

По аналогии ,,, и

Условие Карно(1.1.1) выполняется.

.

Далее выпишем барицентрические координаты:

Подставив затем координаты точек в уравнение коники (Теорема 1.2.1), получим:

;

;

;

.

Сделаем замены , и

И по Теореме 1.2.2 получим:

Для координат центра по 1.2.2 получим

М = ::

Сократим на и получим

Далее из полученных нами соотношений,

;;

и

;;, найдем еще две формы записи координат центра:

Далее разберемся с коллинеарностью точек G,M,I.

, т. е. М является центром масс системы материальных точек .

Эту систему можно разбить на две подсистемы: (с центром масс в G и суммарной массой ) и (с центром в I и суммарной массой ). Из правил группировки и рычага (см. [3]) получим, что и .

Применив формулу о площади треугольника через радиус вписанной окружности (см. [2],[3],[4]), полученное отношение можно переписать несколько по-другому: .

Далее, нам остается доказать, что полученная коника действительно является эллипсом.

После разложения на множители выражение Ф из Теоремы 1.2.2 примет вид:

16 (1+x) (1+y) (1+z) (3+x+y+z), следовательно наша коника будет эллипсом.

Теорема о конике полученной пересечением перпендикуляров

В произвольном треугольнике ABC, через точку A, проведем прямые, перпендикулярные AB и AC, через точку B, перпендикулярные BA и BC, через с перпендикулярные CA и CB.

При пересечении, данные прямые образуют точки H1, H2, H3, H4, H5, H6 (которые, кстати, лежат на одной конике, центр которой — точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника ABC). Впишем в треугольники AH2B, AH3B, AH­1C, AH3C, CH5B, CH4B окружности, тогда точки касания данных окружностей с треугольником ABC лежат на одной конике, центр которой имеет следующие барицентрические координаты: (две другие получаются из первой циклическими сдвигами ).

(где )

Для доказательства, воспользуемся Теоремой Карно (1.1.1).

По аналогии:

Условие Карно выполняется:

Далее выпишем барицентрические координаты:

Пусть тогда подставив данные координаты в уравнение коники (Теорема 1.2.1), получим:

Тогда,

Тогда первая координата коники имеет вид, две другие, из нее получаются циклическими сдвигами . Эта точка отсутствует в Энциклопедии Треугольных Центров[5].

Данная коника может быть, как эллипсом, так и параболой или гиперболой.

Когда она принимает тот или иной вид, зависит от знака выражения(Теорема 1.2.2)

, если Ф>0 у нас эллипсом, если Ф=0 парабола, Ф<0 гипербола.

Теорема о конике полученной пересечением перпендикуляров с анти-дополнительным треугольником

Имеется треугольник ABC, построим анти проективный треугольник A’B’C’. Проведем перпендикуляры к B’C’ из вершин B и C, к A’C’ из A и C, к A’B’ из A и B.

Получим шесть прямоугольных треугольников AC’1C, AB’1B, BC’2C, BA’1A, CB’2B, CA’2A. Впишем, в каждый из них окружность, тогда точки касания данных окружностей со сторонами треугольника ABC, лежат на одной конике, центр которой имеет следующие барицентрические координаты: (две другие получаются из первой циклическими сдвигами).