О некоторых кониках, связанных с треугольником (стр. 4 )

где – те же, что и в предыдущем случае, а)

Для доказательства, воспользуемся Теоремой Карно (1.1.1).

По аналогии:

Условие Карно выполняется:

Выпишем барицентрические координаты точек:

Подставив координаты в уравнение коники, получим:

Обозначим

Тогда,

G и H находятся циклическими сдвигами

Тогда первая координата коники имеет вид, , остальные две находятся теми же сдвигами. Данная точка отсутствует в Энциклопедии Треугольных Центров[5].

Данная коника может быть, как эллипсом, так и параболой или гиперболой.

Когда она принимает тот или иной вид, зависит от знака выражения(Теорема 1.2.2)

, если Ф>0 у нас эллипсом, если Ф=0 парабола, Ф<0 гипербола.

Теорема о «конике симметрии»

В произвольном треугольнике ABC, построим анти-дополнительный треугольник A’B’C’ . Далее, отразим точку A’ относительно серединного перпендикуляра стороны CB, точку B’ относительно серединного перпендикуляра стороны AC, точку C’ относительно серединного перпендикуляра стороны AB. Получим точки A”, B”, C”. Теперь впишем окружности в треугольники AC”B, AC’B, AB’C, AB”C, CA”B, CA’B, тогда шесть точек касания данных окружностей с треугольником ABC, лежат на одной конике, центр которой имеет следующие барицентрические координаты: (две другие получаются из первой циклическими сдвигами).

Для доказательства, воспользуемся Следствием 1.1.2 Теоремы Карно. Так как

Выпишем барицентрические координаты точек:

Обозначим,

Подставив данные координаты в уравнение коники, получим:

Тогда,

Тогда первая координата коники имеет вид, остальные получаются циклическими сдвигами . Данная точка отсутствует в Энциклопедии Треугольных Центров[5].

, если Ф>0 у нас эллипс, если Ф=0 парабола, Ф<0 гипербола.

Теорема о конике образованной симметрией относительно тангенциального треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Опишем около него окружность и проведем к ней касательные, параллельные сторонам треугольника. Отразим вершины треугольника, относительно данных касательных. Получим шесть прямоугольных треугольников. Впишем в каждый из них окружность, тогда точки касания данных окружностей с треугольником ABC, будут лежать на одной конике.

Для доказательства воспользуемся Следствием 1.1.2, т. к.

Далее выпишем барицентрические координаты наших точек:

В итоге получим:

Тогда первая координата центра примет вид остальные получаются циклическими сдвигами. Данная точка отсутствует в Энциклопедии Треугольных Центров[5].

, если Ф>0 имеем эллипс, если Ф=0 параболу, Ф<0 гиперболу.

Литература

[1]. А. Акопян, А. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. М.,МЦНМО, 2011.

[2] А. Мякишев. Элементы геометрии треугольника. М., МЦНМО, 2009.

[3] В. Прасолов. Задачи по планиметрии. М., МЦНМО, 2007.

[4] И. Шарыгин. Геометрия. Планиметрия. (Задачник9-11). М., Дрофа, 2001.

[5] Kimberling C. Encyclopedia of Triangle Centers.

http://faculty. evansville. edu/ck6/encyclopedia/

[6] Yiu P. Introduction to the Geometry of the Triangle.

http://math. fau. edu/yiu/GeometryNotes020402.pdf

[7] ForumGeometricorum – электронный журнал, посвященный элементарной геометрии.

http://forumgeom. fau. edu

[1] И является однородным как относительно коэффициентов, так и относительно переменных, т. е. не меняется (переходит в равносильное), если все коэффициенты (или все переменные) умножить одновременно на любой постоянный ненулевой множитель.

[2] Здесь и далее, в целях экономии бумаги, мы опускаем громоздкие преобразования. По ходу дела мы часто пользовались еще и однородностью коэффициентов и координат, домножая и сокращая некоторые выражения на общие множители.

[3] Согласно [5], эту конфигурацию ввел геометр Иван Пааш.