Неопределенный интеграл (стр. 10 )

Затем необходимые значения тригонометрических функций аргумента выразим как соотношения известных длин катетов и гипотенузы в этом треугольнике. Приведем пример применения приема рационализации для интеграла третьего типа.

Пример 9.6. . Введем новую функцию

(9.9)

и воспользуемся формулами , . Получим:

.

Теперь из (9.9) выразим . Из прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 3, видно, что . Тогда

  III.  Рационализацию интеграла вида

,

где означает рациональную функцию двух и более аргументов, осуществим с помощью замены

. (9.10)

Здесь показатель степени равен такому числу, которое делится нацело на , другими словами есть наименьшее общее кратное для чисел . Это позволит нам избавиться от радикалов. Продифференцируем равенство (9.10)

и найдем . Таким образом, все подынтегральное выражение будет сведено к рациональной функции одного аргумента . Ранее в примере 5.14 этот прием уже применялся. Приведем еще один пример.

Пример 9.7. . Сделаем замену , продифференцируем это равенство

и найдем . Получим . Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим её целую часть, поделив числитель на знаменатель.

Тогда .

Затем вернемся к старой переменной по формуле . Получим

.

10. Разные задачи.

Ниже приведены задачи, решение которых требует применения нескольких приемов интегрирования. Почти во всех этих задачах нужно сначала угадать выгодную замену переменной, которая привела бы в итоге к какой-нибудь стандартной формуле.

Пример 10.1.

. Сделаем замену переменной . Тогда

. Снова введем новую переменную . Тогда . Возвращаясь к старой переменной по формуле , получим

Пример 10.2.

Пример 10.3.

Пример 10.4. .

Пример 10.5. . Введем новую переменную и получим (см. пример 6.2. из раздела 6 интегрирование по частям). Тогда

Пример 10.6. . Введем новую переменную и найдем . Получим

Пример 10.7. . Сделаем замену переменной . Тогда . Получим

Пример 10.8.

Пример 10.9. . Введем новую переменную и найдем . Тогда

Пример 10.10. . Сделаем замену и найдем . Получим

. Представим правильную дробь как сумму простейших дробей:

.

Для нахождения неизвестных коэффициентов выпишем тождественное равенство исходного и вновь полученного числителей:

.

Придадим переменной значение . Тогда , откуда. Затем при тождество примет вид:, откуда . Тогда