Неопределенный интеграл (стр. 11 )

Пример 10.11. . Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим . Найдем и . Тогда

Пример 10.12. . Применим здесь формулу интегрирования по частям, полагая . Тогда . Отсюда . Выделим в неправильной рациональной дроби целую часть делением числителя на знаменатель.

Получим

.

Пример 10.13.

Здесь мы заметили, что .

Пример 10.14. . Введем новую переменную . Тогда . Получим . Воспользуемся формулами . Тогда

Пример 10.15. . Введем новую переменную . Найдем . Тогда , откуда . Таким образом . Получили интеграл, вычисленный ранее в примере 6.9.

Пример 10.16. . Сделаем замену переменной . Тогда и . Разложим правильную дробь в сумму простейших дробей:

.

Из тождественного равенства числителей найдем неизвестные буквенные коэффициенты.

При тождество принимает вид , откуда .

При тождество принимает вид , откуда .

Отсюда

Предложим другое решение, которое использует интеграл, взятый в примере 5.8.

Пример 10.17. . Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Рассмотрим тождественное равенство исходного числителя и вновь полученного

.

Положим в нем последовательно , а затем приравняем друг другу коэффициенты при . Тогда получим систему уравнений для нахождения неизвестных буквенных коэффициентов:

.

Решая ее, найдем . Тогда

Вычислим отдельно . Сделаем замену . Найдем . Получим

. Тогда

Пример 10.18. . Сделаем замену и найдем . Получим . Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Выделим из нее целую часть.

Тогда .

Последний интеграл взят в предыдущем примере 10.17. Воспользуемся этим результатом.

Затем вернемся к старой переменной .

Пример 10.19. . Сделаем замену переменной . При этом . Тогда

Пример 10.20. Вычислить .

Пусть .

При :

Рекомендуемая литература

1.  Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: «Наука», 1964.

2.  Справочник по высшей математике. М.: Изд-во АСТ Астрель, 2006.

3.  Краткий курс высшей математики. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.

4.  Неопределенный интеграл. Методические указания к самостоятельному выполнению задания для студентов всех специальностей. Л.: ЛИСИ, 1989.

5.  Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1. М.: Айрис-пресс, 2006.

6.  Сборник задач по курсу математического анализа. М.: «Наука», 1985.

Оглавление

Введение 3

1. Первообразная………………………………………………………….…..……3

2.Неопределенный интеграл……………………………………….………………4

3.Таблица неопределенных интегралов…………..………………….…………...6

4. Простейшие правила интегрирования…………………...……….…………11

5. Замена переменной в неопределенном интеграле…………..……….………17

6. Интегрирование по частям……….…………………………………………..20

7. Интегрирование дробно-рациональных функций………..….……….……..25

8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций………...36

9. Интегрирование некоторых иррациональных функций……..…..…………40

10.Разные задачи………...………….............................................................42

Рекомендуемая литература…………………………………………………51

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Составители: Вера Борисовна Смирнова

Лидия Евсеевна Морозова

Редактор

Корректор

Компьютерная верстка

Подписано к печати 00.00.2005. Формат 60x84 1/16. Бум. Офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 2000 экз. Заказ. «С» . Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-ая Красноармейская, 5.