Неопределенный интеграл (стр. 5 )

Отметим здесь, что в результате применения формулы (6.1) мы свели вычисление неизвестного интеграла к вычислению известного интеграла .

Перечислим ниже типы интегралов, которые следует вычислять, используя формулу интегрирования по частям (6.1).

  I. 

  II. 

  III. 

  IV. 

  V.  .

  VI.  .

В интегралах типов I, II, III в качестве следует выбрать , в качестве – оставшуюся часть подынтегрального выражения. Формулу (6.1) для этих интегралов придется применять n раз. В интегралах типа IV в качестве принимается , в качестве принимается . В интегралах типов V, VI в качестве принимается обратная тригонометрическая функция, а в качестве принимается .

Приведем примеры интегрирования по частям.

Пример 6.1. . Положим . Получим . Тогда .

Пример 6.2. . Положим . Получим . Тогда

Пример 6.3. . Положим . Получим . Тогда

Пример 6.4. . Полагаем . Получим . Тогда

.

Пример 6.5. . Положим . Найдем . Получим

.

Снова интегрируем по частям. Положим . Получим . Тогда

.

Пример 6.6. . Положим . Вычислим . Тогда .

Интеграл вычислен в примере 6.1. Получим

.

Пример 6.7. . Положим . Получим . Тогда

.

Пример 6.8. . Положим . Получим . Тогда

.

Интегралы, приводящиеся к самим себе.

Иногда в результате применения формулы (6.1) мы получаем новый интеграл, который отличается от исходного интеграла лишь множителем. Тогда формулу (6.1) можно рассматривать как уравнение относительно . Такие интегралы называются интегралами, приводящимися к себе.

Пример 6.9. , где .

Применим интегрирование по частям, где . Тогда

.

Получим

. (6.6)

Проведём тождественные преобразования:

Подставляем полученный результат в формулу (6.6). Тогда

.

Мы получили уравнение относительно . Решаем его. В итоге,

.

Пример 6.10. , где .

Применяем интегрирование по частям. Положим . Получим . Тогда

. (6.7)

Снова применим интегрирование по частям в интеграле . Положим . Найдем . Тогда .

Подставим интеграл в (6.7) и получим уравнение относительно .

.

Решая это уравнение, определяем .

.

7. Интегрирование дробно-рациональных функций.

Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) будем называть частное от деления двух многочленов. Общий вид рациональной дроби таков

,