Неопределенный интеграл (стр. 8 )

Подставим в полученное тождество последовательно значения переменной . Тогда

Получим .

Окончательно,

.

8. Интегрирование некоторых типов тригонометрических функций.

I. Интегрирование произведений синусов и косинусов различных аргументов.

Для вычисления интегралов этого типа нужно последовательно осуществлять преобразование произведений пар тригонометрических функций в суммы пар тригонометрических функций, согласно формулам:

.

Приведём примеры.

Пример 8.1.

.

Пример 8.2.

.

Пример 8.3.

.

II. .

Здесь следует выделить два случая:

1)  одно из чисел: , является целым, положительным, нечётным;

2)  оба числа являются целыми, неотрицательными (), чётными.

В случае 1) нужно выделить из нечётной степени один множитель (соответственно ) и объединить этот множитель с дифференциалом . Далее, нужно выразить подынтегральное выражение только через или только через , воспользовавшись тем, что , , а .

Приведём примеры.

Пример 8.4.

Сделаем замену переменной . Получим

.

Пример 8.5. .

Пример 8.6.

Введем новую переменную . Тогда

Заметим, что если обе степени m и n положительные и нечетные, то отделять множитель выгодно от степени с меньшим показателем.

Пример 8.7.

В случае 2) нужно воспользоваться формулами

позволяющими понизить степень функций, входящих в подынтегральное выражение.

Пример 8.8.

Пример 8.9.

Пример 8.10.

III.

Ранее уже были найдены

Для вычисления интегралов от прочих натуральных степеней функций и следует воспользоваться формулами

соответственно, записав предварительно интегрируемые функции в виде

При этом следует учесть, что

Пример 8.11.

Пример 8.12.

Пример 8.13.

9. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

  I.  Рассмотрим здесь интегралы вида

,

где – числа, .

Чтобы вычислить этот интеграл, следует вычислить производную подкоренного выражения:

Затем в числителе подынтегральной функции следует выделить эту производную, поделив «уголком» числитель на полученную производную, то есть представить числитель в виде суммы двух слагаемых:

Тогда

(9.1)

Рассмотрим каждый из интегралов, стоящих в правой части (9.1), отдельно.

a)  Положим . Тогда .

b)  (9.2)

Здесь в подкоренном выражении выделен полный квадрат. В результате правая часть равенства (9.2) приведена к табличному интегралу. Если , это интеграл типа (3.16) из таблицы, если – интеграл типа (3.14).

Пример 9.1. . Воспользуемся формулами , . Тогда

Пример 9.2. . Воспользуемся формулами . Получим

Пример 9.3. . Воспользуемся формулами . Получим