МИФ-2, №3, 2005 (стр. 2 )

Действительно, если неоднородную среду составляет набор слоев или пластин с разными показателями преломления n1, n2, n3, … (рис. 3), и среда прозрачна, то луч проходит сквозь нее, и на границах раздела слоев (пластин) выполняются соотношения, обусловленные законом преломления:

n1Sina1 = n2Sina2 = n3Sina3 =…= niSinai.

То есть вдоль выбранного направления выполняется соотношение niSinai = Cоnst.

Отсюда следует, что если среда непрозрачна, и луч отражается от одного из ее слоев, то угол падения луча из начальной среды равен углу выхода этого луча в ту же среду.

3. Законы параксиальной оптики

Параксиальная оптика - это оптика малых углов падения и преломления лучей. Для малых углов sin a » tg a » a. Тогда закон преломления принимает вид или an1=gn2. Здесь a - угол падения луча, а g - угол преломления. Если по ходу решения задачи требуется значение cos a, то можно воспользоваться соотношением cos a » l - a2.

Один из законов параксиальной оптики утверждает, что узкие пучки параллельных лучей собираются преломляющей системой в одну точку — фокус (или в одной точке собираются их продолжения — мнимый фокус).

Второй закон оптики параксиальных лучей состоит в том, что расходящиеся из одной точки под малыми углами лучи фокусируются преломляющей системой тоже в одну точку (с той же оговоркой относительно мнимого изображения). На этих законах основано решение многих задач, где одним из оптических элементов является глаз, — из-за малой величины зрачка глаз фокусирует лучи, падающие на него под малыми углами. В сущности поэтому мы и видим точку как точку, а не как протяженный источник.

Давно замечено, что при ярком освещении те, кто пользуется не очень сильными очками, могут читать и без очков.

Объясняется это тем, что резкое изображение предмета несовершенного глаза получается не на сетчатке глаза, а перед ней, если человек близорук, или за ней, если человек дальнозорок. В обоих случаях изображение каждой точки на сетчатке глаза получается в виде расплывчатого пятна (рис. 4), диаметр которого зави­сит от диаметра зрачка и от степени близорукости (или дальнозоркости) человека.

Чем меньше диаметр зрачка, тем уже пучок лучей, создающих изображение точки, тем меньше пятно получается на сетчатке. При ярком освещении диаметр зрачка уменьшается, и изображение букв для людей, носящих не очень сильные очки, оказывается слабо размытым

Для тех же, кто пользуется сильными очками, изображение букв получается далеко от сетчатки глаза, и несмотря на небольшой диаметр зрачка, изображение букв ока­зывается сильно размытым, так что читать текст все равно невозможно.

Аналогично объясняется увеличение глубины резкости (то есть области, которая получается на фотопленке резко) при уменьшении диаметра объектива фотоаппарата (рис. 5).

4. Формулы тонкой линзы

Уникальным оптическим прибором, осуществляющим изменение направления лучей, является линза. Различают линзы собирающие (положительные) и рассеивающие (отрицательные). Если толщина линзы такова, что ею можно пренебречь, то линзу называют тонкой.

4.1. Формула Рене Декарта

Если обозначить расстояние от источника света (или предмета) до линзы d, расстояние от линзы до изображения f, фокусное расстояние линзы F- (рис. 6), то основной закон тонкой линзы принимает вид: ±. Такой вид формулы линзы принадлежит Рене Декарту (1596-1650). Здесь за точку отсчета как бы был взят геометрический центр линзы (или сама линза, так как толщиной ее можно пренебречь).

Следует обратить внимание на знаки, стоящие в формуле тонкой линзы: фокус собирающей линзы – положителен, F > 0; фокус рассеивающей линзы – отрицателен, F < 0, что и определяет названия линз.

Действительное изображение всегда перевернутое и получается только с помощью собирающей линзы, при этом f > 0 и значит > 0 ( в формуле тонкой линзы ставится перед ставится знак +).

Мнимое изображение всегда прямое (то есть не перевернутое), при этом f < 0 и значит < 0 (перед в формуле ставится знак минус).

Мнимое изображение может давать как собирающая линза, так и рассеивающая. Собирающая линза дает мнимое изображение в случае, когда предмет находится между фокусом и линзой, и изображение его увеличенное.

Рассеивающая линза всегда дает мнимое уменьшенное изображение (рис. 7).

Таким образом, формула тонкой линзы имеет несколько вариаций:

+ - собирающая линза дает действительное изображение предмета; при этом предмет располагается перед собирающей линзой на расстоянии, большем фокусного, то есть d>F, и изображение предмета перевернутое (увеличенное или уменьшенное);

+ - собирающая линза дает мнимое изображение предмета; при этом предмет находится между линзой и фокусом, d < F, а изображение прямое;

- рассеивающая линза, всегда дающая мнимое изображение.

Например, если предмет находится на расстоянии 30 см от тонкой линзы, фокусное расстояние которой 20 см, то местоположение изображения может быть найдено по формуле ; = 60 см.

4.2. Ньютона

И. Ньютон изменил «точку отсчета» и взял их не одну, а две – в точках переднего и заднего фокуса. Если обозначить a – расстояние от предмета до переднего фокуса линзы, а b – расстояние от заднего фокуса линзы до изображения (рис. 8) , то формула тонкой линзы приобретет вид: . Эта формула известна как формула Ньютона (1642-1727).

Обратимся к только что разобранному примеру: определим местоположение изображения в тонкой линзе, фокусное расстояние которой 20 см, а предмет находится на расстоянии 30 см от нее, используя формулу Ньютона.

Здесь а = 10 см, F = 20 см, значит, 202/10 = 40 см. То есть изображение находится на расстоянии 40 см от заднего фокуса линзы или на расстоянии f = 60 см от самой линзы.

4.3. Ананта

Профессор физики США В. Ананта предложил помещать «точку отсчета» на главной оптической оси на расстоянии nF от линзы, где n –целое число. За положительное направление Ананта предложил считать направление от фокуса к линзе. Если поместить «точку отсчета» в точку двойного фокуса, обозначить буквой А – расстояние от предмета до точки двойного фокуса перед линзой, а буквой В – расстояние от изображения до точки двойного фокуса за линзой, то формула Ананта примет вид:. Если предмет расположен за двойным фокусом, то есть d>2F, то А>0. Если же предмет расположен на расстоянии от линзы меньшем, чем двойное фокусное, то А<0.

Так, в рассмотренном примере F=20 см, А=(30–40)= -10 см; тогда

В= см. Знак «минус» означает, что расстояние В отсчитывается от точки двойного фокуса в направлении от линзы (рис. 8).

Задача 1. Предмет расположен на расстоянии 105 см перед объективом фотоаппарата, фокусное расстояние которого 50 мм. Где должна быть расположена фотопленка?

Решение. Расчеты можно вести в сантиметрах, так как других единиц измерения в формулах нет.

Выполним расчеты по разным формулам.

1.  По формуле Декарта: «точка отсчета» – центр линзы;

d = 105см, F= 5 см; 5,25 см (от линзы).

2.  По формуле Ньютона: «точка отсчета» - фокус линзы; а = 105 – 5 = 100 см; 0,25 см (от заднего фокуса линзы или 5,25 см от линзы).

3.  По формуле Ананта: «точка отсчета» - двойной фокус линзы;

А = 105 – 10 = 95 см; В = 4,75 см (от точки двойного фокуса по направлению к линзе, то есть на расстоянии 5,25 см от линзы).

Получили во всех трех случаях одинаковые результаты. Это значит, что в каждом конкретном случае можно использовать ту формулу из выше приведенных, которая дает наиболее простые вычисления.

5. Расчет фокусного расстояния или оптической силы линзы

Часто в условии задачи фигурирует не фокусное расстояние линзы, а ее оптическая сила . При этом фокусное расстояние обязательно измеряют в метрах (м), а оптическую силу линзы – в диоптриях (дптр).