МИФ-2, №3, 2005 (стр. 3 )

Очень часто учащиеся ошибаются, считая, что оптические свойства линзы определяются только ее формой, то есть выпуклая линза всегда собирающая, а вогнутая – всегда рассеивающая.

Для расчета фокусного расстояния F (или оптической силы D) линзы необходимо учитывать не только радиусы кривизны сфер, ограничивающих соответствующие поверхности линзы, R1 и R2, но и показатели преломления как самой линзы, так среды, окружающей линзу. Относительным показателем преломления называют отношение показателя преломления линзы к показателю преломления окружающей ее среды. Если обозначить показатель преломления материала линзы n, показатель преломления среды слева от линзы n1, а справа – n2, то выполняются соотношения:

для расчета переднего фокусного расстояния F1: ;

для расчета заднего фокусного расстояния F2 : .

Если с обеих сторон линзы находится воздух, то есть n1=n2=1, то получаем

D =.

Если линза ограничена поверхностями равного радиуса, то есть R1 = R2, и находится в воздухе, то D = .

Если такая линза окружена однородной средой с показателем преломления nср, отличным от показателя преломления воздуха, то .

Если радиусы ограничивающих поверхностей линзы неодинаковы, а линза находится в однородной среде, то .

Радиус поверхности, ограничивающей линзу, тоже имеет знак. Принято считать, что если поверхность линзы своей выпуклой стороной обращена к среде с меньшим показателем преломления, то ее радиус кривизны положителен, в противоположном случае – он отрицателен. Например, радиус поверхности выпуклой линзы, выполненной из оптически более плотного, чем среда, материала, положителен.

Радиус поверхности выпуклой линзы, выполненной из оптически менее плотного, чем среда, материала, отрицателен.

Радиус вогнутой линзы, выполненной из оптически более плотного, чем среда, материала, отрицателен.

Радиус вогнутой линзы выполненной из оптически менее плотного, чем среда, материала, положителен.

Радиус плоской поверхности линзы считается равным ¥.

Таким образом, выпуклая линза, выполненная из оптически более плотного материала, чем среда (например стеклянная линза в воздухе), является собирающей (положительной).

Выпуклая линза, выполненная из оптически менее плотного материала, чем среда (например воздушная линза в стекле), является рассеивающей (отрицательной).

Вогнутая линза, выполненная из оптически более плотного материала, чем среда (например стеклянная линза в воздухе), является рассеивающей (отрицательной).

Вогнутая линза, выполненная из оптически менее плотного материала, чем среда (например воздушная линза в стекле), является собирающей (положительной).

Обязательно учитывайте эти правила при расчете оптической силы линзы.

6. Увеличение линзы

Часто в задачах на геометрическую оптику встречается термин – линейное (поперечное) увеличение линзы. Под линейным увеличением Г (гамма) понимают число, указывающее, во сколько раз линейный размер изображения больше соответствующего линейного размера самого предмета. Если размер предмета h, а размер его изображения H (рис.4, 5), то .

Эти соотношения позволяют заменять в формуле тонкой линзы параметры: либо f= , либо d = . И тогда формула приобретает вид: или . Это бывает особенно удобно, когда в задаче задается линейное увеличение предмета, так как уменьшается количество неизвестных. Удобно использование линейного увеличения и в случае, когда точка движется перпендикулярно главной оптической оси. Если движение происходит с постоянной скоростью v, то h = v, и H = ut, где u – скорость движения изображения точки в линзе. Тогда = . Если же точка движется перпендикулярно главной оптической оси, но с постоянным ускорением, то ==.

Реже, но тоже встречается в задачах термин «угловое увеличение». Это величина, обратная линейному увеличению, равная g = .

7. Графические приемы решения задач

7.1. Построение изображений в линзах. Правила построения изображений в линзах очень подробно изложены в школьных учебниках физики. Поэтому подробно останавливаться на них мы не будем, лишь кратко напомним.

Задачи с применением законов геометрической оптики ни в коем случае не решаются без рисунка или чертежа, на котором обязательно должен быть обозначен ход каждого луча. Более того, желательно различные лучи обозначать различными цветами. Тогда рисунок будет более наглядным и окажет большую помощь при решении задачи. При построении изображений, полученных с помощью тонких линз, используют три основных (базисных) луча (рис. 6, 7):

- луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе проходит через фокус;

- в силу обратимости лучей, луч, проходящий через фокус линзы, после преломления выходит параллельно главной оптической оси;

-  луч, проходящий через геометрический центр линзы, не преломляется.

Если точка лежит на главной оптической оси линзы, то для ее построения необходимо провести побочную оптическую ось и обозначить на ней побочные фокусы (рис. 9). Тогда луч, проходящий через данную точку параллельно побочной оптической оси, после преломления в линзе проходит через побочный фокус.

Раз­личные задачи геометрической оптики можно решать графически. Например, чтобы найти положение изображения точечного источника света в тонкой линзе, достаточно построить ход двух произвольных лучей, вышедших из источника и прошедших через линзу.

7.2. Метод номограмм. Шапиро предлагает еще один, несколько необычный, графичес­кий способ решения подобных задач. При этом на рисунках нет ни световых лучей, ни оптических осей линзы, ни даже самой линзы. Это метод построения особых черте­жей — номограмм (от греческих слов nomos — закон и grapho — пишу).

С их помощью можно, например, не произ­водя вычислений, получать приближенные решения уравнений или находить приближенные значения интересующих нас фун­кций, в том числе и величины, связанные формулой тонкой линзы.

Напомним, что каждое слагаемое, входящее в формулу, может быть как положительным, так и отрицательным. Если предмет, или его изображение, или фокус линзы действительные, величи­ны d , или f, или F берутся со знаком «плюс». В случае же если предмет, или изображение, или фокус линзы мнимые, соответ­ствующие величины берутся со знаком «минус».

Построим номограмму для формулы линзы и покажем, как с ее помощью можно решать конкретные задачи.

Изобразим на плоскости прямоугольную систему координат ХОУ (рис. 10). По горизонтальной оси отложим отрезок ОА длиной d, а по вертикальной оси отрезок 0В длиной f. Пока для определенности d и f будем считать положительными. Соединим точки А и В отрезком прямой, и под углом 45° проведем биссектрису прямого угла АОВ. Найдем точку К пересечения биссектрисы с АВ. Из точки К опустим на оси координат перпендикуляры и обозначим длину полученных равных отрезков КМ и KN через F. Из подобия треугольников АОВ и AMК следует или , откуда легко получается , то есть знакомая нам формула тонкой линзы.

Таким образом, мы получили, что длины d, f и F построен­ных на чертеже отрезков связаны между собой уравнением тонкой линзы. Действительно, если по горизонтальной оси прямоуголь­ной системы координат откладывать расстояния d от предмета до линзы, а по вертикальной оси — расстояния f от линзы до изображения, то все прямые, соединяющие концы соответству­ющих отрезков, пересекаются в одной точке (рис. 11). Проекции этой точки на оси координат одинаковы и равны фокусному расстоянию F данной линзы.

Поскольку для определения прямой на плоскости достаточно знать всего две принадлежащие ей точки, с помощью построен­ной номограммы по известным двум из трех величин d, f и F всегда можно графически определить недостающую третью.

Итак:

1. Предположим, что в задаче даны фокусное расстояние линзы F и расстояние от предмета до линзы d. Требуется найти f.

Откладываем в удобном нам масштабе на горизонтальной и вертикальной оси отрезки, равные F, и находим точку пересечения осевых линий К. На горизонтальной оси откладываем в том же масштабе отрезок, равный расстоянию d. Через конечную точку отрезка d и точку К проводим отрезок до пересечения с вертикальной осью. Полученный на вертикальной оси отрезок равен f (естественно, тоже в масштабе).