Информатика (стр. 14 )

На вид полученные детьми деревья могут различаться из-за того, что учащиеся могли в разном порядке перебирать возможности, однако в математическом смысле все эти деревья одинаковы. Мы приводим один из возможных вариантов дерева Q:

Второе задание (анализ позиций) не представляет большой сложности. Проигрышными здесь будут только позиции-листья, а все остальные позиции будут выигрышными. Действительно, у каждой позиции, которая не является листом, есть хотя бы один следующий лист (проигрышная позиция). Значит, из каждой такой позиции есть ход в проигрышную позицию (а сама позиция является выигрышной). Корневая позиция также является выигрышной, следовательно, выигрышная стратегия имеется у игрока, очередь которого делать ход (Второго). Вопрос об этой стратегии в задаче не приводится, поскольку ответ на него тривиален — Второй может выиграть у Первого за один ход, поставив нолик в верхний левый угол. Ответ на последний вопрос задачи также не представляет большой сложности. Чтобы построить искомую цепочку, достаточно найти хотя бы один лист на пятом уровне и построить ведущий в него путь. В данном случае таких листов два, поэтому имеется две подходящие цепочки.

Задача 75. Необязательная. При выполнении первого задания предоставьте ребятам полную свободу, такие задания уже должны быть по силам каждому. По окончании его выполнения напомните детям о необходимости проверки, которую можно провести как в индивидуальном порядке, так и в парах. В любом случае полезно спросить ребят, какие именно условия должны выполняться, чтобы цепочка была нарисована верно. Во-первых, все 4 точки на окружности должны быть попарно соединены. Это означает, что в заключительной позиции проведено 6 отрезков, а цепочка игры состоит из семи позиций. Во-вторых, при переходе от одной позиции к другой всегда должен добавляться один отрезок определённого цвета. В-третьих, в заключительной позиции (и предыдущей перед ней) не должно быть одноцветного треугольника, иначе партия не закончится ничьей. При выполнении второго задания полезно дать ребятам время подумать, а затем выслушать все мнения. Скорее всего, учащиеся сообразят, что игра на окружности с тремя точками всегда заканчивается ничьей, и выскажут свои соображения, которые вам, возможно, придётся обобщить. Действительно, на окружности с тремя точками, соединив все возможные пары точек, мы получим 3 отрезка. Учитывая очерёдность хода, два из них будут ходами Первого, один — ходом Второго, значит, одноцветного треугольника не возникнет.

Проект «Стратегия победы»

1-й этап. Работа с листом определений (тетрадь проектов, с. 3)

Цель данного проекта — обучение поиску выигрышной стратегии с помощью дерева игры на примере игры «ползунок» на поле 3×3. Из учебника ребятам известен следующий алгоритм поиска выигрышной стратегии:

1. Раскрасить все позиции игры красным или синим (как выигрышные или проигрышные), начиная с заключительной и вплоть до корневой позиции.

2. Выяснить, у кого в данной игре есть выигрышная стратегия: если корневая позиция красная, то у Первого; если синяя, то у Второго.

3. Сформулировать выигрышную стратегию либо в виде общего правила (игрок должен делать на каждом ходу так, чтобы...), либо в виде описания последовательности ходов в зависимости от ходов противника.

Иногда все возможные позиции нужно располагать на числовой линейке, как в игре «камешки», иногда на круглой числовой линейке, как в игре «стрелки», иногда на шахматном поле, как в игре «король». Позиции для игры «ползунок» удобнее всего анализировать по дереву игры.

Итак, нам нужно построить дерево игры «ползунок». Это дерево очень большое. Чтобы справиться с поставленной задачей, на листе определений ребята знакомятся с понятием «одинаковые позиции» для данной игры. Действительно, с точки зрения продолжения игры такие позиции не различаются, а значит, все одинаковые позиции либо одинаково выигрышные, либо проигрышные. Для демонстрации того, что две позиции одинаковы, полезно иметь заготовки прозрачных полей для «ползунка» 3×3, на которых можно нарисовать две данные позиции и совместить их наложением.

После того как ребята поработают с листом определений, устройте общее обсуждение, в ходе которого станет ясно, хорошо ли усвоили дети понятие «одинаковые позиции». Для этого достаточно нарисовать на доске несколько пар позиций и спросить, какие из них одинаковы.

Теперь при построении дерева игры «ползунок» мы можем прорисовывать лишь одну из всех веток, выходящих из одинаковых позиций.

2-й этап. Изучение начального фрагмента дерева игры для первых пяти уровней (тетрадь проектов, с. 4—6)

На этом этапе происходит общее обсуждение, в ходе которого все ребята должны разобраться, каким образом построены первые пять уровней дерева. Можно начать строить первые два уровня дерева и без опоры на рисунок на с. 4. Для этого надо нарисовать корневую позицию на доске и попросить ребят нарисовать все возможные позиции, которые могут получиться после первого хода Первого. Мешок позиций составляется всем классом, каждый учащийся, который считает, что на доске не все позиции, может выйти и предложить новые позиции. После этого нужно вместе проверить, все ли позиции нарисованы на доске (всего их должно быть 12). Затем необходимо рассортировать позиции — выделить одинаковые и оставить только по одному экземпляру. Если вы чувствуете, что такая работа пошла очень тяжело, попросите ребят открыть тетрадь проектов на с. 4 и просто рассмотреть первые три уровня.

Можно аналогично поработать и с позициями третьего уровня — для двух различных позиций второго уровня (2a и 2i) нарисовать все возможные следующие, затем среди всех получившихся позиций третьего уровня найти одинаковые. Завершая эту работу, ребята должны обратиться к с. 4 и проверить, совпадают ли первые три уровня дерева, построенные в ходе общего обсуждения, с началом дерева в тетради проектов. Здесь же необходимо ответить на все возникшие в ходе работы вопросы.

Далее ребята работают с позициями четвёртого и пятого уровней. Попросите детей разобрать фрагменты дерева по готовому рисунку. При этом сильным учащимся можно предложить сначала попытаться построить мешок всех позиций соответствующего уровня самостоятельно. Другой вариант (групповой) — разбить детей на 5 групп, выдать каждой группе одну позицию третьего уровня и попросить построить мешок всех следующих за ней позиций (четвёртого уровня). Затем всю полученную информацию следует отобразить на доске и выделить среди позиций четвёртого уровня одинаковые. Различные позиции четвёртого уровня опять раздаются по группам (их снова будет 5), и для каждой из них группа ищет мешок всех следующих позиций. Работа завершается выделением на пятом уровне всех различных позиций (их можно нарисовать на доске). В любом случае обсуждение того, почему какие-то позиции одинаковы, следует проводить всем классом.

3-й этап. Групповая работа по построению и анализу ветки дерева игры «ползунок» на поле размером 3 × 3.

Решение задач 1 — 7 из тетради проектов

Дети в классе делятся на 7 групп по числу задач. Каждая группа решает одну из задач 1 — 7.

Обратите внимание детей, что теперь не нужно искать одинаковые позиции, а нужно строить все позиции, следующие за каждой (за исключением задач 1 и 3, где одинаковые позиции уже помечены на дереве).

Раскрашивать позиции ребята, как обычно, должны, начиная с листьев (все листья — проигрышные позиции, они обводятся синим), все позиции, предыдущие перед листьями, обводятся красным. Далее ребята двигаются к корневой позиции, используя известные им правила:

• если хотя бы одна позиция, следующая за данной, проигрышная, то данная позиция — выигрышная;

• если все позиции, следующие за данной, выигрышные, то данная позиция — проигрышная.

Работу в группах ребята организуют по своему усмотрению. При делении учащихся на группы на данном этапе проекта необходимо учесть, что некоторые ветки побольше (подлиннее или пошире), а некоторые поменьше. Одной из групп достанется не одна, а две корневые позиции, поскольку ветки, выходящие из них, совсем простые (в задаче 5). Другой группе достанутся тоже две ветки, но одна из них уже построена — нужно только обвести выигрышные и проигрышные позиции (задача 7).

После того как каждая группа решит свою задачу, необходимо организовать проверку, поскольку от результата работы каждой группы будет зависеть успешность работы всего класса. Самое простое — просмотреть цвет корневой вершины каждой группы и в случае ошибки обсудить эту ситуацию с ребятами. Другой вариант — предложить группам обменяться задачами для проверки. Такой вариант потребует дополнительного времени на уроке, поэтому можно предложить подобное задание на дом.

Ниже приводятся построенные ветки из задач 1 — 7.

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

4-й этап. Общее обсуждение — обмен результатами работы групп

Возвращаемся к начальному фрагменту дерева, а точнее, к позициям пятого уровня, изображённым на с. 5. Цель данного этапа — пометить все позиции пятого уровня как выигрышные или проигрышные в процессе обмена результатами работы групп. Организовать этот процесс можно, например, так. Поочерёдно от каждой группы к доске выходит один представитель, рисует корневую позицию своей ветки (или веток) и объявляет, какой позицией (выигрышной или проигрышной) она является, обводя её соответствующим цветом. Вслед за ним каждый учащийся находит эту позицию в тетради на с. 5 и обводит её тем же цветом.