Часть 2. Основы молекулярной физики и термодинамики (стр. 4 )

. (11.17)

Заменив здесь согласно (11.15), перепишем уравнение (11.17):

. (11.18)

Из этого равенства следует, что

,

т. е. сила давления ТДС может совершать работу над внешними телами за счет энергии, поступающей извне в виде теплоты, либо за счет уменьшения внутренней энергии. Если же ТДС теплоизолирована, работа будет совершаться лишь до тех пор, пока не исчерпается запас внутренней энергии. Из приведенных рассуждений следует вторая формулировка первого закона термодинамики: невозможен вечный двигатель первого рода, т. е. двигатель, который бесконечно долго совершал бы работу без поступления энергии извне.

10.4. Теплоемкость

Теплоемкостью тела называется скалярная физическая величина . Здесь - количество теплоты, переданное телу, в результате чего температура тела увеличилась на . Из определения следует, что единицей измерения теплоемкости тела является 1 Дж/К.

Удельной теплоемкостью вещества, из которого состоит тело, называется отношение теплоемкости тела к его массе:

(- удельная теплоемкость, - масса тела). Единицей измерения удельной теплоемкости служит 1 Дж/кг ∙К. Умножив удельную теплоемкость на

молярную массу, получим молярную теплоемкость вещества: (здесь - молярная масса). В качестве единицы измерения молярной теплоемкости используется 1 Дж/моль∙К. Поскольку количество теплоты, переданное термодинамической системе, зависит от вида процесса, далее найдем молярную теплоемкость и работу силы давления идеального газа в наиболее распространенных изопроцессах – изохорном, изобарном и изотермическом.

Изохорный процесс. В этом случае объем газа не изменяется, поэтому , . В соответствии с этим уравнение (11.18) примет вид:

. (11.19)

Следовательно, в изохорном процессе вся теплота, переданная газу, идет на увеличение внутренней энергии. Представим элементарное количество теплоты следующим образом:

. (11.20)

Здесь - количество молей газа, - молярная теплоемкость при постоянном объеме, - изменение температуры. Заменив в уравнении (11.19) величину согласно (11.20), имеем:

. (11.21)

Понятно, что отношение можно рассматривать как производную внутренней энергии по температуре. Следовательно, молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме равна быстроте изменения его внутренней энергии при повышении температуры. Поскольку внутренняя энергия как функция состояния ТДС зависит также от давления и объема, в (11.21) следует использовать символ частной производной:

(здесь подстрочный индекс означает, что в это равенство входит частная производная по температуре при постоянном объеме).

Изобарный процесс. В рассматриваемом случае первый закон термодинамики выражается уравнением (11.18). Элементарное количество теплоты можно представить следующим образом:

(11.22)

(здесь - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении). Так как внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии теплового движения молекул, она не зависит от расстояния между ними, т. е. от объема газа. Поэтому и в случае изобарного процесса, в соответствии с (11.21),

. (11.22А)

Сделаем в уравнении (11.18) замену (11.22) и (11.22А):

. (11.23)

Из уравнения состояния идеального газа имеем:

. (11.24)

Подставив (11.24) в (11.23), получим:

. (11.25)

Следовательно, молярная теплоемкость газа при постоянном давлении больше, чем при постоянном объеме, на величину универсальной газовой постоянной. Это обусловлено тем, что в изобарном процессе помимо увеличения внутренней энергии газа совершается работа. Поскольку давление можно вынести за знак интеграла (11.16), имеем:

.

Равенство (11.25), связывающее молярные теплоемкости идеального газа при постоянном давлении и объеме, называется уравнением Майера.

Изотермический процесс. Элементарное количество теплоты, переданное газу в изотермическом процессе, представим следующим образом:

(здесь - молярная теплоемкость при постоянной температуре). Из этого равенства следует, что

.

Поскольку в изотермическом процессе , численное значение . Исходя из этого изотермический процесс формально можно рассматривать как процесс, совершаемый газом с бесконечно большой теплоемкостью. Так как внутренняя энергия идеального газа состоит только из кинетической энергии поступательного движения его молекул, в случае изотермического процесса она остается неизменной (). В соответствии с этим из уравнения (11.18) получается, что , т. е. вся теплота, полученная газом в изотермическом процессе, идет на совершение работы. Зависимость давления от объема, которая необходима для вычисления работы, найдем из уравнения состояния:

. (11.26)

Подставив в интеграл (11.7) вместо давления правую часть равенства (11.26), получим:

. (11.26А)

10.5. Адиабатический и политропный процесс

Адиабатическим называется процесс изменения состояния термодинамической системы при отсутствии теплообмена с внешней средой. Обозначим молярную теплоемкость вещества в адиабатическом процессе ; тогда элементарное количество теплоты, переданное ТДС, . Из этого равенства следует, что

.

Поскольку в адиабатическом процессе теплопередача отсутствует (), из последнего равенства получается, что . Следовательно, адиабатический процесс формально можно рассматривать как процесс, совершаемый термодинамической системой с нулевой теплоемкостью.

Для того чтобы найти уравнение адиабатического процесса для идеального газа, напишем первый закон термодинамики, полагая :

. (11.27)

Для дальнейшего изложения необходимо использовать еще одно понятие из математического анализа – полный дифференциал функции двух независимых переменных. По определению, полным дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения независимых переменных. Не вдаваясь в детали этого определения (более подробно оно будет изучаться в курсе высшей математики), рассмотрим формулу для вычисления полного дифференциала:

. (11.28)

Здесь и - частные производные функции (определение частных производных приведено в п. 3.1), и - бесконечно малые приращения независимых переменных.

Далее в соответствии с (11.28) найдем полный дифференциал левой и правой части уравнения состояния идеального газа:

. (11.29)

Из уравнения Майера имеем:

,

где . Поскольку газ идеальный, сделаем в уравнении (11.27) замену и умножим его левую часть на , правую – на отношение :

. (11.30)

Сложив уравнения (11.29) и (11.30), получим:

. (11.31)

К этому же уравнению можно прийти в результате тождественных преобразований полного дифференциала функции

. (11.32)

Действительно, частные производные левой части (11.32) по переменным и имеют вид:

, .

Составим выражение для полного дифференциала левой части (11.32) и приравняем его к нулю, поскольку полный дифференциал постоянной в правой части имеет нулевое значение:

. (11.33)

Разделив (11.33) на , придем к уравнению, совпадающему с (11.31):

.

Поскольку уравнение (11.31) получено для адиабатического процесса, равенство (11.32), из которого следует (11.31), можно рассматривать как уравнение этого процесса для определенной массы газа. Величина , входящая в (11.32) в качестве параметра, называется показателем адиабаты.

Политропным называется процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной теплоемкости. Для того чтобы найти уравнение политропного процесса для идеального газа, будем исходить из первого закона термодинамики, полагая (- молярная теплоемкость политропного процесса), :

. (11.34)

Сделаем в этом уравнении элементарные тождественные преобразования и умножим его на универсальную газовую постоянную:

.

Подставим в последнее выражение вместо левую часть (11.29):

.

В результате элементарных преобразований получим:

. (11.35)

Введем обозначение

(11.36)

и выразим из него :

. (11.37)

Заменив в (11.35) разность согласно (11.37), придем к уравнению

,

аналогичному (11.31). Можно показать по аналогии с адиабатическим процессом, что это уравнение получается также в результате тождественных преобразований полного дифференциала функции

. (11.38)

Следовательно, выражение (11.38) можно рассматривать как уравнение политропного процесса для определенной массы газа; параметр этого уравнения называется показателем политропы.

Легко показать, что при определенных значениях из уравнения политропного процесса получаются уравнения всех перечисленные выше изопроцессов, в том числе адиабатического. Для этого выразим из равенства (11.36) величину :

. (11.39)

Если , , т. е. политропный процесс при нулевом значении параметра представляет собой изобарический процесс. Если , ; следовательно, в данном случае получается изотермический процесс. При условии

.

Учитывая, что ,

,

т. е. имеет место адиабатический процесс. Если же , в правой части (11.39) возникает неопределенность типа . Раскрыв ее по правилу Лопиталя (для этого нужно числитель и знаменапродифференцировать по , считая ее непрерывной величиной, и перейти к пределу при ), получим, что (изохорный процесс).