Компьютерное моделирование в радиофизике и электронике (стр. 13 )

Поскольку критерием хаотической динамики служит присутствие положительного старшего показателя, представляет интерес возможность его оценки на основании обработки записи реализаций (временных рядов) [13, 15]. Сначала производится реконструкция аттрактора в фазовом пространстве методом запаздываний и определяется размерность вложения m. Далее берем за исходную точку х0 (рис. 14) на реконструированном аттракторе и находим, просматривая запись временного ряда, другую точку , находящуюся на малом расстоянии , но не близкую по времени. Затем, используя запись реализации, отслеживаем шаг за шагом динамику при старте их этих двух точек. Когда расстояние между изображающими точками и превысит некоторую заданную величину emax, остановимся и зафиксируем период времени Т1, который для этого понадобился, и отношение конечного и начального расстояний . Теперь вновь просмотрим реализацию с тем, чтобы отыскать другую точку старта возмущенной траектории. Она должна быть по возможности близка к точке и сдвинута от неё по направлению, близкому к направлению вектора . Пусть эта точка и . Отслеживаем теперь траектории, стартующие из точек и , пока через некоторый следующий период времени Т2 расстояние не превысит emax, и вычисляем отношение . Далее процедура повторяется многократно, и ляпуновский показатель оценивается как

где К – общее число "ступенек" алгоритма.

********

Задания

1.  Вычислить аналитически показатель Ляпунова для логистического отображения при r = 4.

2.  Определить показатели Ляпунова для реализаций системы (10) при m > 1, g > 1; m > 1, g < 1.

Литература

1.  , Лифшиц . – М.: Наука, 1986. – 736 с.

2.  Хаотические колебания. – М.: Мир, 1990. – 312 с.

3.  Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

4.  Федер. Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

5.  Розгачева в космосе // Земля и Вселенная. – 1993, №1. – С. 10-16.

6.  , , Турмухамбетов . Информация. Турбулентность. – Алматы: РИО ВАК РК, 2000. – 228 с.

7.  Фракталы в физике / Под. ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти – М.: Мир, 1988. – 672 с.

8.  , Лямшев в волновых процессах // УФН. – Т.165, № 4. – 1995. – С.361-401.

9.  Нигматуллин дробного исчисления и её реализация на фрактальных структурах / Автореферат дисс. д. ф.-м. н. – Казань, 1992. – 26 с.

10.  Милованов структуры и группы Ли в физике космической плазмы, астрофизики и космологии / Автореферат дисс. к. ф.-м. н. – М.: ИКИ РАН, 1994. – 14 с.

11.  Жанабаев по нелинейной физике. – Алматы: Қазақ университеті, 1997. – 71 с.

12.  , , Шиманский- Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 544 с.

13.  , Шакирбаев характеристики динамического хаоса. – Алматы: Қазақ университеті, 1997. – 24 с

14.  Wolf. A., , Swinney H. L. and Vasano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a Time Series // Physica 16D. – 1985. – P. 285-317.

15.  .Кузнецов хаос. – М.: Физматлит, 2001. – 295 с. http://www. fizmatlit. narod. ru/webrary/kuzn/kuzn. htm

Глава 5

ИНФОРМАЦИОННО-ЭНТРОПИЙНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Реальные объекты представляют собой пример открытых систем, обменивающихся с внешним миром энергией, веществом и информацией. Информация порождается независимо от природы объекта при нарушении симметрии, структурировании и вероятностном поведении исследуемого процесса. С другой стороны, естественное структурирование — самоорганизация порядка из хаоса так же является наиболее общей закономерностью эволюции реальных — нелинейных, незамкнутых систем. Далее мы приведем известные положения о физических аспектах информации и информационной энтропии [1–3].

Понятие информации

Согласно общепринятой терминологии [2] будем пользоваться следующим определением информации.

Слово «информация» имеет различный смысл. Общественно-политическая информация представляет собой совокупность сообщений об актуальных новостях социальной системы. В кибернетике понятие информации связано с хранением, обработкой и передачей сигналов. В теории вероятностей информация вводится как аддитивная количественная мера сравнения вероятностей случайных событий относительно друг друга. В основе всей теории информации лежит открытие, что информация допускает количественную оценку. В простейшей комбинаторной форме эта идея была выдвинута Р. Хартли в 1928 году, но завершенный вид ей придал К. Шеннон в 1948 году.

Шенноновская теория информации исходит из элементарного альтернативного выбора между двумя знаками (битами) О и L, где L может отождествляться с 1, "да", "истина" и т. п., а О с 0, "нет", "ложь". Такой выбор соответствует приему сообщения, состоящего из одного двоичного знака, и, тем самым, мы снимаем имеющуюся неопределенность в выборе.

Количество информации, содержащее в таком сообщении, принимается за единицу и также называется битом. Так что бит – это и двоичный знак, и единица измерения количества информации, определяемая как количество информации в выборе с двумя взаимоисключающими равновероятными исходами.

Пусть

(1)

– наборы переменных, характеризующих состояния соответствующих систем, обозначенных теми же буквами Х, Y. Если – вероятность того, что при состоянии системы X система Y переходит в состояние (условная вероятность), то информация, получаемая Y равна [4]

. (2)

Число называется количеством информации , заключающейся в событии системы X. Величина I всегда положительна, т. к. . В зависимости от выбора основания логарифма количество информации может измеряться в битах, дитах и натах, соответственно, в случаях двоичных, десятичных и натуральных логарифмов.

Если состояния хi и yi систем Х и Y независимы, то = 0: состояние уi системы Y не несёт в себе никакой информации относительно Х и наоборот. В этом случае выполняется равенство

.

Информация от одновременной реализации независимых состояний хi и yi систем Х и Y определяется как:

. (3)

Выражение (3) можно ввести как условия, выражающее свойство аддитивности информации. Из (2) следует важный, единственно универсальный смысл информации: информативными являются события с малой априорной (теоретической, доопытной) вероятностью. Другими словами, много информации несут в себе неожиданные события. Этот вывод не относится к уникальным (редким), неповторяющимся событиям.

Скорость передачи информации

Передача информации происходит по каналам связи. В теории информации отвлекаются от конкретного устройства этих каналов и рассматривают различные системы связи лишь с точки зрения количества информации, которое может быть надежно передано с их помощью.