Компьютерное моделирование в радиофизике и электронике (стр. 4 )

7.  Поршнев моделирование физических процессов в пакете MatLab. – М.: Горячая линия – Телеком, 2003. – 592 с.

8.  , , Хайкин колебаний. – М.: Физматгиз, 1959.

9.  , , Шиманский- Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 544 с.

Глава 2

ФУРЬЕ-АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Периодические сигналы

По определению периодической функцией называют функцию, отвечающую условию:

(1)

где Т – период функции.

Для нахождения спектрального разложения функции s(t) введем в рассмотрение следующие наборы функций:

(2)

Любая функция из (2), которую для краткости обозначим , удовлетворяет условию периодичности (1).

Рассмотрим 3 следующих интеграла:

(3)

Функции, удовлетворяющие условию (3), называют ортогональными, а систему функций (2) называют ортонормированным базисом, образованным гармоническими функциями с кратными частотами. Условие ортогональности можно записать в компактной форме, используя символ Кронекера:

, (4)

где

Разложим произвольную периодическую функцию s(t) в ряд:

(5)

Представление (5) называется обобщенным рядом Фурье функции s(t) в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находятся умножением (5) на базисную функцию и интегрированием по периоду функции s(t):

. (6)

Откуда, используя свойство ортонормированности (4), найдем

. (7)

Подставляя в (7) набор функций (2), найдем значения коэффициентов ряда:

(8а)

(8б)

(8в)

Введя основную частоту последовательности, образующей периодическую функцию s(t), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

. (9)

Анализ (9) показывает, что функция s(t) содержит независящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами , кратными основной частоте последовательности. Можно показать, что имеет равенство [1]

. (10)

Если записать коэффициенты ряда Фурье в виде

где

то получим эквивалентную форму ряда Фурье:

. (11)

Спектральное разложение периодической функции можно выполнить, используя систему базисных функций в виде экспонент с мнимыми показателями:

(12)

которые являются ортогональными. Ряд Фурье в данном случае принимает вид

(13)

с коэффициентами

(14)

На практике принято использовать и другую форму записи ряда Фурье

(15)

где

(16)

Выражения (13) – (16) представляют собой ряд Фурье в комплексной форме [1].

В пакете MATLAB получим разложение в ряд Фурье произвольных функций. Для этого создадим следующие m-файлы:

1. FF.m – описание функции, разлагаемой в ряд Фурье.

2. AF.m – описание функции, возвращающей значение заданного коэффициента разложения в ряд Фурье по косинусам в соответствии с (8а), (8б).

3. BF.m – описание функции, возвращающей значение заданного коэффициента разложения в ряд Фурье по синусам в соответствии с (8в).

% Листинг файл-функции FF. m

function z=FF(t, T)

N=length(t);

for i=1:N

if t(i)<0

z(i)=0

end;

if (t(i)>=0)&(t(i)<=T/2)

z(i)=1/2;

end;

if (t(i)>T/2)&(t(i)<=T)

z(i)=-1/2;

end;

if t(i)>T

z(i)=0;

end;

end;

_______________________

% Листинг файл-функции АF. m

function z=AF(k, T)

dt=T/1000;

t=0:dt:T;

F=FF(t, T).*cos(2*pi*k/T*t);

z=2/T*trapz(t, F);

________________________

% Листинг файл-функции ВF. m

function z=BF(k, T)

dt=T/1000;

t=0:dt:T;

F=FF(t, T).*sin(2*pi*k/T*t);

z=2/T*trapz(t, F);

______________________

% Листинг файла, позволяющий получить

% значение ряда Фурье

Nf=9; % число гармоник

k=1:Nf;

T=1; % длительность импульса

% вычисление коэффициентов А(0), А(k) и B(k)

A0=AF(0,1);

for k=1:Nf

A(k)=AF(k, T);

B(k)=BF(k, T);

end;

% вычисление значений усеченного ряда Фурье на временном

% интервале [0,1]

Np=1000;

t=0:T/Np:1;

for i=1:Np+1

S=A0/2;

for k=1:Nf

S=S+A(k)*cos(2*pi*k/T*t(i))+…

B(k)*sin(2*pi*k/T*t(i));

end;

s(i)=S;

end;

plot(t, s,'k',t, FF(t, T),'k--')

Результат программы представлен на рис. 1. Сравнение графиков исходной функции и функции, являющейся результатом разложения в ряд Фурье обнаруживает их отличие. Обнаруженное отличие между исходной функцией и усеченным рядом Фурье носит название эффекта Гиббса. Увеличение числа членов усеченного ряда Фурье приводит к уменьшению отличия межу функциями f(t) и s(t).

******************

Задания

1. Для количественных характеристик отличия между функциями f(t) и s(t) при различном числе членов усеченного ряда Фурье можно использовать максимальное значение функции f(t) – s(t) и дисперсию данной функции. Постройте при различных значениях числа членов усеченного ряда Фурье Nf:

а) графики функций f(t) – s(t);

б) оцените периоды колебаний функции и сравните его с периодами колебаний последнего члена ряда Фурье.

2. Постройте зависимости максимального значения функции f(t) – s(t) и ее среднеквадратичного отклонения от числа членов усеченного ряда Фурье на временном интервале [0.05; 0.045].

Непериодические сигналы

Рассмотрим обобщение метода рядов Фурье на случай непериодических сигналов, позволяющее получать их спектральные характеристики. В теории обработки радиотехнических сигналов она называется задачей анализа [3].

Пусть функция s(t) задана на временном интервале конечной длительности [0, T]. Дополнив данную функцию такими же сигналами, периодически следующими через интервал времени Т, получим периодическую последовательность (15) в виде комплексного ряда Фурье. Для возвращения к одиночному интервалу устремим к бесконечности период повторения Т, при этом:

1)  частоты соседних гармоник nw и (n+1)w окажутся сколь угодно близкими, поэтому в формулах (15) и (16) дискретную переменную nw можно заменить непрерывной переменной w;

2)  коэффициенты Cn станут неограниченно малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (16).

Для нахождения предельного вида (15) введем понятие спектральной плотности мощности, воспользовавшись тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно сопряженные пары:

а каждой паре отвечает простое гармоническое колебание

с комплексной амплитудой .

На малом интервале частот в окрестности некоторого значения частоты w0 будет содержаться отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются сколь угодно мало, поэтому составляющие можно складывать, предполагая, что они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковым комплексными амплитудами. Таким образом, комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала, отображающая вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала , равна