Компьютерное моделирование в радиофизике и электронике (стр. 18 )

  7.  , Лифшиц физика, ч. 1. – М.: Наука, 1976. 583 с.

  8.  Стратонович информации. – М.: Сов. Радио, 1975. 424 с.

  9.  Zhanabaev Z. Zh. The informational properties of self-organizing systems // Rep. Nat. Acad. of Science RK. – 1996. – № 5. – P. 14-19.

  10.  Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1988 . 240 с.

  11.  , Медетов критерии степени самоорганизации открытых систем//Вестник КарГУ. 2000, №1(17). С.35-45

  12.  Жанабаев C. Б., Турмухамбетов . Информация. Турбулентность. – Алматы: РИО ВАК РК, 2000. 228с.

  13.  , , Малинецкий мира нестационарных структур // Компьютеры и нелинейные явления. – М.: Наука, 1988. 192 с.

Глава 6

ФРАКТАЛЬНЫЙ И МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Фрактальная размерность

Рассмотрим фрактальный объект [1 – 4], занимающий некую ограниченную область ℒ размера L в Евклидовом пространстве с размерностью d (d = 1 – линия, d = 2 – плоскость, d = 3 – трехмерное пространство). Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество из N >> 1 точек, как-то распределенных в этой области. Мы будем предполагать, что в конце концов N ®. Разобьем всю область ℒ на кубические ячейки со стороной d и объемом dd. При уменьшении d количество ячеек N(d), покрывающих область, будет меняться по степенному закону [5]

, (1)

D называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью. Логарифмируя соотношение (1) и устремляя d к нулю, можно записать

. (2)

Логарифм можно взять по любому положительному основанию, отличному от единицы, например, по основанию 10 или по основанию (2) и служит общим определением фрактальной размерности D. В соответствии с ним величина D является локальной характеристикой данного объекта. Если применить такой подход к фрактальным объектам, как канторово множество (рис. 1) или ковер Серпиньского (рис. 2), то величина D оказывается дробной.

Пример.

Найдем размерность ковра Серпиньского [3] (рис. 2). Если размер ячейки d = 1/3, то число ячеек покрытия N = 8, при уменьшении ячеек в три раза получаем d = 1/9 и N = 64 ячейки, у k-го уровня – d = (1/3)k и N(d) = 8k. Применяя (2), получим

**********

Задания

3.  Определить аналитически фрактальную размерность следующих фракталов: канторова множество, снежинки Коха и салфетки Серпиньского [1–4].

4.  Написать алгоритм и программу для построения фракталов из первого задания.

Фрактальные размерности многомерных объектов

Одномерные фрактальные объекты имеют свойство самоподобия, или, масштабной инвариантности: части объекта подобны целому. Если число определяющих переменных больше единицы и коэффициенты подобия по этим переменным различные, то такие фрактальные объекты называются самоаффинными. Типичным примером самоподобных фракталов является траектория броуновской частицы, движущейся в однородной среде. В этом случае координатные оси равноправные, коэффициенты подобия по всем направлениям одинаковы. В то же время зависимость координаты частицы от времени представляет собой самоаффинную фрактальную кривую, т. к. перемещение частицы зависит от времени нелинейным образом и коэффициенты подобия по координате и времени различные. Самоаффинными фракталами могут быть также кривые формы сигналов от сложных генераторов, пространственного и временного энергетического спектров полупроводниковых тонких пленок и т. д.

Б. Мандельброт ввел для модельных фракталов показатели аффинности, через которые определяются фрактальные размерности, также указал на возможную их связь с эмпирическими показателями Херста ((4) главы 3). Однако в реальных условиях однозначный выбор характерных масштабов (показателей аффинности) остается неопределенным. Известные соотношения периметра и площади определяют только одно значение фрактальной размерности через эмпирическую постоянную, которая является неуниверсальной. Формула Хаусдорфа (2) и другие методы вычисления фрактальной размерности неприменимы к самоаффинным объектам без знания закономерностей их фрактализации.

Ниже мы рассмотрим метод определения фрактальных размерностей самоаффинных объектов без привлечения свободных параметров, и применим результаты к описанию сигналов генератора с инерционной нелинейностью [6, 7].

Фрактальные меры – длина L(δ), площадь F(δ), объем V(δ) обычно определяются по общей формуле меры – любой аддитивной измеримой физической величины M (аналога массы):

(3)

где N(d) – минимальное число ячеек, достаточное для описания подобия элементов множества.

Можно поставить обратную задачу поиска набора значений D через M, если определить их для фракталов как интегралы, зависящие от выбора числа точек разбиения интервала интегрирования, т. е. от d. Выбирая случайным образом значения d, или, номера ячеек с размером d, мы можем единой методикой рассматривать как регулярные так и случайные фракталы [8].

Введем относительные масштабы измерения

, (4)

где kj – коэффициенты формы, определяемые по формулам (33) и (34) главы 5. По общей формуле фрактальной меры (3) запишем

,,

, (5)

где d1 = 1, d2 = 2, d3 = 3 – топологические размерности длины, площади, объема. Исключив из (5) δ2 и δ3 получим

. (6)

В n-мерном случае имеем

, (7)

где Vj(δ) – многомерная фрактальная мера, Dn – ее фрактальная размерность. Если учесть, что фрактальные меры могут образоваться из деформации линии, поверхности, объема с топологическими размерностями di, i = 1, 2, 3, то в общем случае следует принять

, , , (8)

где γn – показатель скейлинга, т. е. дробные части Dn.

Выражение (7), из которого определяется Dn, является нелинейным уравнением n-степени. В случаях равенства показателей Vj в (7), т. е. при

(9)

мы имеем линейные уравнения относительно γn.

Условия (9) означают образование n-мерного объекта с размерностью Dn путем каскадной деформации элементов с топологическими размерностями dn и dn-1. Например, фрактализация через dn-1 означает, что при n = 1 рассматривается фрактальная кривая, состоящая из множества точек, при n=3 – фрактальный объект, образованный деформацией поверхности, образованной из кривой, которая, в свою очередь, образована из точек.

При выполнении двух условий (7) из (9) следует одинаковый результат

. (10)

Если принять средние по n значения V, d, k, D в уравнении (7), то получим линейные уравнения относительно D:

, (11)

из которого следует

. (12)

При равенстве численных значений всех Vj(δ), kj из (10) также следует (1).

Рассмотрим пример выполнения условий (9). Примем

. (13)

Эти условия соответствуют образованию фрактальной поверхности путем деформации линии.

Уравнение (7) для этого случая имеет вид

(14)

Отсюда следует квадратное уравнение относительно γ, решая которое найдем фрактальные размерности: