Основные построения (стр. 2 )

а) б) в)

Рис. 131

П о с т р о е н и е.

1) Строим окружности с центрами в точках и одного радиуса, большего половины отрезка , например, радиуса : и (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки и пересечения окружностей и .

3) Тогда прямая – серединный перпендикуляр к отрезку . Докажем это.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим треугольники и (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, . Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике отрезок является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. – серединный перпендикуляр.

З а д а ч а 4 (построение прямой, перпендикулярной данной прямой). Построить прямую, проходящую через данную точку , не принадлежащую данной прямой и перпендикулярную прямой .

П о и с к р е ш е н и я. Пусть прямая , проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой , построена и пересекает прямую в точке (рис. 132, а). Отметим на прямой две точки и так, что точка – середина отрезка . Тогда прямая – серединный перпендикуляр к отрезку , а следовательно, (каждая точка серединного перпендикуляра находится на одинаковом расстоянии от концов отрезка). Другими словами, точки и лежат на окружности с центром в точке , которая пересекает прямую . Пусть точка лежит на прямой так, что – середина отрезка . Из равенства треугольников и , и следует, что точки и лежат на окружностях с центрами и радиуса . Построив точку мы построим прямую.

а) б) в)

Рис. 132

П о с т р о е н и е.

1) Строим окружность с центром в точке и пересекающую прямую (рис. 132, б).

2) Строим окружности с центрами в точках и радиуса .

3) Отмечаем еще одну точку пересечения построенных окружностей (понятно, что окружности проходят через точку ).

4) Проводим прямую . Она проходит через точку и перпендикулярна прямой (рис. 132, в). Докажем это.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Согласно построению треугольник равен треугольнику (по трем сторонам). Следовательно, . Отсюда получаем, что отрезок ( ) является биссектрисой равнобедренного треугольника , а значит, и его высотой. Таким образом, прямая перпендикулярна прямой .

З а д а ч а 5 (построение биссектрисы угла). Построить биссектрису данного угла .

П о и с к р е ш е н и я. Допустим, что биссектриса данного угла построена (рис. 133, а). Пусть и – точки, лежащие на сторонах угла так, что ,, а – некоторая точка биссектрисы . Из равенства прямоугольных треугольников и ( , – общий катет) следует, что = , т. е. точка принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках и . Построив точку , мы построим биссектрису данного угла.