Основные построения (стр. 4 )

Даны два отрезка ,  и угол(рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник , две стороны которого, например, и равны соответственно отрезкам и , а угол равен углу.

а) б)

Рис. 135

П о с т р о е н и е.

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок , равный отрезку (рис. 135, б).

2) Строим угол равный углу

3) На луче отложим отрезок , равный отрезку , и проведем отрезок . Треугольник – искомый.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По построению имеем, что , и .

И с с л е д о в а н и е. При любых данных отрезках и и неразвернутом угле каждое из построений 1)–3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка , равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

З а д а ч а 9 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам). Построить треугольник, сторона которого равна данному отрезку , а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам и .

Дан отрезок и два угла и (рис. 136, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник , сторона которого, например, равна отрезку , а углы и равны соответственно углам и .

а) б)

Рис. 136

П о с т р о е н н и е.

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок , равный отрезку (рис. 136, б).

2) Строим угол , равный углу .

3) Строим угол , равный углу .

4) Отмечаем точку пересечения лучей и . Треугольник – искомый.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По построению имеем, что , и .

И с с л е д о в а н и е. Для любого данного отрезка и неразвернутых углов и каждое из построений 1) – 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка на ней, равного отрезку , равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

З а д а ч а 10 (построение треугольника по трем сторонам). Построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам ,, .

Даны отрезки , (рис. 137, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник , стороны которого , и равны соответственно отрезкам и .

а) б)

Рис. 137

П о с т р о е н и е.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок , равный отрезку (рис. 137, б).

2) Строим окружность .

3) Строим окружность .

4) Пусть – одна из точек пересечения окружностей и . Тогда треугольник – искомый.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По построению , , .

И с с л е д о в а н и е. Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон. Таким образом, если какой-либо из данных отрезков больше суммы двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

Задачи

1. Построить прямую, проходящую через середину отрезка и перпендикулярную этому отрезку.

2. На данной прямой постройте точку, которая равноудалена от концов данного отрезка .

3. На данной прямой постройте точку, которая равноудалена от сторон данного угла .

4. Постройте прямоугольный треугольник, катет которого равен данному отрезку , а прилежащий к нему острый угол равен данному углу .

5. Постройте прямоугольный треугольник, катет которого равен данному отрезку , а противолежащий ему острый угол равен данному углу .

6. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный .

7. Дан отрезок и две пересекающиеся прямые и . На прямой постройте точку, находящуюся от прямой на расстоянии .

8. Даны два отрезка , и угол . Постройте треугольник, одна из сторон которого равна отрезку , прилежащий к ней угол равен углу , а биссектриса треугольника, проведенная из вершины этого угла, равна отрезку .

9. Даны отрезки , и угол . Постройте треугольник, сторона которого равна , прилежащий к ней угол равен углу, а высота, проведенная к этой стороне, равна отрезку .

10. Постройте равносторонний треугольник, сторона которого равна половине данного отрезка .

11. Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна данному отрезку , а его основание составляет четвертую часть боковой стороны.

12. Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна данному отрезку , а его периметр равен данному отрезку .

13. Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна данному отрезку , а медиана, проведенная к основанию, равна .

14. Постройте прямоугольный треугольник, катет которого равен данному отрезку , а медиана, проведенная к другому катету, равна отрезку .

15. Постройте прямоугольный треугольник, высота которого, проведенная из вершины прямого угла, равна отрезку , а острый угол равен данному углу.

16. Постройте треугольник , у которого угол равен данному углу , а высоты, проведенные к сторонам угла равны данным отрезкам и .

17. Дан треугольник . Постройте прямую, которая параллельна стороне и пересекает стороны и соответственно в точках и так, что .