Основные построения (стр. 1 )

ОСНОВНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

1. Основные задачи на построение циркулем и линейкой.

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические постро-ения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

1) с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;

2) с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение отрезка и угла, равного данному; построение серединного перпендикуляра к отрезку; построение биссектрисы угла; построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой.

З а д а ч а 1 (построение отрезка, равного данному). На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному отрезку.

а) б)

Рис. 129

П о и с к р е ш е н и я. Предположим, что отрезок , равный отрезку , отложен на луче (рис. 129, а). Тогда можем заметить, что точка одновременно лежит на луче и находится от точки на расстоянии, равном , т. е. лежит на окружности. Таким образом, точка есть пересечение окружностии луча. Теперь можем осуществить построение.

П о с т р о е н и е.

1) Циркулем строим окружность (рис. 129, б).

2) Отмечаем точку , в которой окружность пересекает луч . Отрезок – искомый.

З а д а ч а 2 (построение угла, равного данному). От данного луча отложить угол, равный данному углу .

а) б)

Рис. 130

П о и с к р е ш е н и я. Предположим, что угол, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а). Пусть и – окружности некоторого равного радиуса с центрами и соответственно. Обозначим буквами и точки пересечения окружности с лучами и , а буквами и – точки пересечения окружности с лучами и соответственно. Нетрудно понять, что (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда следует, что отрезок равен отрезку . Иначе говоря, точка находится от точки на расстоянии, равном , т. е. она принадлежит окружности . Теперь понятно, как осуществить построение.

П о с т р о е н и е.

1) Строим окружность , где – произвольный радиус, и отмечаем точки и пересечения ее со сторонами угла .

2) Построим окружность с центром в точке того же радиуса и отмечаем ее точку пересечения с лучом .

3) Строим окружность .

4) Пусть – одна из точек пересечения окружностей и (рис. 130, б). Тогда угол – иско-мый. Докажем, что .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Равенство следует из равенства треугольникови . Действительно, по построению , так как эти отрезки являются радиусами окружностей, имеющих равные радиусы. Кроме того, по построению , следовательно, треугольникии равны по трем сторонам. Отсюда следует, что , т. е. построенный угол равен данному углу .

З а д а ч а 3 (построение серединного перпендикуляра к отрезку). Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку

П о и с к р е ш е н и я. Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр к отрезку построен (рис. 131, а). Пусть точки и лежат на серединном перпендикуляре так, что . Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам, следовательно,. Иначе говоря, точки и лежат на окружности с центром в точке и некоторого радиуса большего . Аналогично, так как треугольник равен треугольнику . Кроме того, легко видеть, что . Таким образом, точки и лежат также и на окружности с центром в точке и того же радиуса .