Основные построения (стр. 3 )

a) б) в)

Рис. 133

П о с т р о е н и е.

1) Строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла (рис. 133, б).

2) Отмечаем точки и , в которых окружность пересекает стороны и данного угла соответственно.

3) Строим две окружности равного радиуса, большего половины отрезка с центрами в точках и . Отмечаем точку их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч . Луч – искомый. Докажем это.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим треугольники и (рис. 133, в). Эти треугольники равны по трем сторонам ( и – по построению, – общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что , т. е. луч – биссектриса угла .

З а д а ч а 6 (построение прямой, параллельной данной). Построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую через точку , не лежащую на прямой .

П о и с к р е ш е н и я. Пусть прямая параллельная данной прямой и проходящая через точку , построена. Возьмем на прямой произвольную точку и пусть и равные отрезки, лежащие на прямых и соответственно и расположенные по одну сторону от прямой (рис. 134, а). Заметим, что треугольник равен треугольнику(,– общая сторона как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых и секущей ). Из равенства этих треугольников следует, что . Таким образом, точка принадлежит окружности с центром в точке радиуса и окружности с центром в точке радиуса .

а) б) в)

Рис. 134

П о с т р о е н и е.

1) Отметим две различные произвольные точки и на прямой (рис. 134, б).

2) Строим окружность .

3) Строим окружность .

4) Отмечаем точку пересечения окружностей и , которая лежит по ту же сторону от прямой что и точка . Прямая – искомая. Докажем, что || .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим треугольники и (рис. 134, в). Эти треугольники равны по трем сторонам. Действительно, и по построению, а сторона – общая. Из равенства треугольников и следует, что . Указанные равные углы являются накрест лежащими углами при пересечении прямых и секущей, следовательно, прямые и параллельны.

Заметим, что каждая из рассмотренных выше задач имеет единственное решение. Вместе с тем подчеркнем, что задача на построение может не иметь решения. Рассмотрим одну из таких задач.

2. Построение треугольника по трем элементам. В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) по трем сторонам.

З а д а ч а 8 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними). Построить треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам и , а угол между этими сторонами равен данному углу .