Интеллектуальные системы (стр. 8 )

3. Нечеткие отношения.

Определение. Пусть U = U1´U2´ ….´Un – прямое произведение универсальных множеств. Нечеткое n-арное отношение определяется как нечеткое подмножество R на U с функцией принадлежности mR(х1, x2, …, xn) (xiÎUi), принимающее свои значения на отрезке [0, 1].

В случае n=2 нечеткое отношение между элементам множеств X и Y записывается в виде: xÎX, yÎY: xRy. Если X=Y, то нечеткое отношение R называется нечетким отношением на множестве R.

4. Операции над нечеткими отношениями.

Объединение двух отношений. Объединение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ÈR2 и определяется функцией принадлежности:

.

Пересечение двух отношений. Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1ÇR2 и определяется функцией принадлежности:

.

Операция включения. RÍS тогда и только тогда, когда mR(x, y)≤ mS(x, y).

Алгебраическое произведение двух отношений. Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1×R2 и определяется функцией принадлежности:

Алгебраическая сумма двух отношений. Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1×R2 и определяется функцией принадлежности:

Дополнение. Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией принадлежности: .

Максиминное произведение A´B нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Минимаксное произведение A´B нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Максмультипликативное произведение A´B нечетких отношений A и B на множестве Z характеризуется функцией принадлежности вида:

Обратное отношение. Обратное к R нечеткое отношение R-1 на множестве U определяется следующим образом: x R-1yÛyRx "x, yÎU.

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому. Пусть R – нечеткое отношение с функцией принадлежности mR(x, y). Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

Композиция (свертка) двух нечетких отношений. Пусть R1 – нечеткое отношение R1 между X и Y; R2 – нечеткое отношение R2 между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2°R1, определенное через R1 и R2 выражением:

,

где символом «Ú» обозначена операция выбора наибольшего по y значения, называется (max-min) – композицией ((max-min)-сверткой) отношений R1 и R2.

(max-*) композиция. Пусть R1 – нечеткое отношение R1 между X и Y; R2 – нечеткое отношение R2 между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2°R1, определенное через R1 и R2 выражением:

,

где символом «*» обозначена операция, обладающая свойством ассоциативности и монотонности, называется (max-*) – композицией ((max-*)-сверткой) отношений R1 и R2.

Проекции нечетких отношений. Пусть R – нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности mR(x, y). Для произвольного yÎX нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид mR(x, y), где y – фиксированный элемент множества X.

Объединение нечетких множеств R(y) по всем yÎX называется первой проекцией R(1) нечеткого отношения R. Функция принадлежности .

Вторая проекция R(2) нечеткого отношения R определяется: .

5. Свойства нечетких отношений.

Коммутативность RÇS = SÇR, RÈS = SÈR.

Ассоциативность RÇ(SÇQ) = (RÇS)ÇQ, RÈ(SÈQ) = (RÈS)ÈQ.

Дистрибутивность RÇ(SÈQ) = (RÇS)È(RÇQ), RÈ(SÇQ) = (RÈS)Ç(RÈQ).

Идемпотентность RÇR = R, RÈR = R.

Рефлексивность:

·  если mR(u, u) = 1, отношение R – рефлексивное;

·  если mR(u, u) < 1, отношение R – слаборефлексивное;

·  если mR(u, u) = 0, отношение R – антирефлексивное;

·  если mR(u, u) > 0, отношение R – слабоантирефлексивное;

Симметричность mR(u, v) = mR(v, u), u, vÎU.

Транзитивность mR(u, v) ³ mR(v, z) Ù mR(z, v), u, v, z ÎU.

6. Нечеткие и лингвистические переменные.

Нечеткая переменная определяется кортежем <a, X, C(a)>, где a - наименование нечеткой переменной, X – область определения нечеткой переменной (базовое множество), C(a) = {mC(a)(X)/(xÎX)} – нечеткое подмножество множества X, описывающее ограничения на возможные значения нечеткой переменной a.

Лингвистическая переменная характеризуется <b, T(b), X, G, M>, в котором b - название лингвистической переменной, T(b) – термин-множество лингвистической переменной b, то есть множество лингвистических (вербальных) значений переменной, причем каждое из этих значений является нечеткой переменной с областью определения X: G – синтаксическое правило (имеющее обычно форму грамматики), порождающее наименования aÎ T(b) вербальных значений лингвистической переменной b, M – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной aÎ T(b) нечеткое множество C(a) – смысл нечеткой переменной a.

7. Нечеткие высказывания и нечеткая импликация.

Нечеткая импликация. Пусть заданы универсальные множества X и Y, содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации «если A, то B», где A и B –нечеткие множества на X и Y, соответственно, понимают способ задания нечеткого отношения R на X´Y, соответствующего данному высказыванию. Чаще всего используются следующие способы задания этого отношения:

1)  Ларсен: mR(x, y) = mA(x)×mB(y);

2)  Лукасевич: mR(x, y) = min{1, 1-mA(x)+mB(y)};

3)  Мамдани: mR(x, y) = min{mA(x), mB(y)};

4)  Гёдель: ;

5)  Клин-Динэс: mR(x, y) = max{1-mA(x), mB(y)};

6)  Клин-Динэс - Лук: mR(x, y) = 1-mA(x)+mA(x)×mB(y)}.

Нечеткими высказываниями называются высказывания вида:

·  <b есть a>, где b - наименование лингвистической переменной, относительно которой производится утверждение a, являющееся ее нечеткой оценкой (нечеткой переменной);

·  <b есть ma>, где m – модификатор «очень», «более или менее», «незначительный»;

·  <b есть Qa>;

·  <Qb есть ma>;

·  <mb есть Qa>, где Q – квантификатор («большинство», «несколько», «много», «немного»);

·  высказывания, образуемые из вышеперечисленных с использованием связок И, ИЛИ, ЕСЛИ…ТО, НЕ.

Формально нечеткое высказывание представляет собой нечеткое множество. Поэтому, если A и B нечеткие высказывания, то отрицание , конъюнкция AÙB, AÚB есть нечеткие высказывания с функциями принадлежности , , , соответственно.

Нечеткий предикат. Нечеткий предикат P(x1, x2,…, xk) или, более строго, k-местный нечеткий предикат, формально определяется, как некоторое отображение из декартова произведения универсумов X1, X2,…, Xk в некоторое вполне упорядоченное множество значений истинности, в частности, в интервал [0, 1], то есть P: X1×X2×… ×Xk ® [0, 1].

8. Нечеткий вывод.

Механизм нечеткого вывода можно представить в виде:

Предпосылка:

П1: если x есть A1, тогда y есть B1,

П2: если x есть A2, тогда y есть B2,

……………………………………….

Пm: если x есть Am, тогда y есть Bm,

Факт: x есть Ф

Следствие: y есть B

Знание эксперта A®B отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения R = A®B. Нечеткое отношение R есть нечеткое подмножество прямого произведения X´Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Процесс получения (нечеткого) результата вывода B* с использованием данного наблюдения A* и знания A®B можно представить в виде формулы B* = A*°R, где ° - операция композиции (свертки).

Нечеткий логический вывод (свертка) осуществляется в четыре этапа:

1.  Введение нечеткости, фазификация. Функции принадлежностим, определенные на входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения истинности каждой предпосылки каждого правила.

2.  Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключению каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено каждой переменной вывода для каждого правила.