и находим ее общее решение.
3. Исходя из общих решений каждой из однородных систем, выписываем собственные векторы.
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
.
Составляем характеристическое уравнение и находим его решение:
.
Собственные значения: 
.
Найдем собственные вектора:
: 
: 
Собственные вектора:
.
Перейти к содержанию
10. Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа
Постановка задачи. Привести квадратичную форму
к каноническому виду методом Лагранжа.
План решения.
Метод Лагранжа заключается в последовательном выделении полных квадратов. Не ограничивая общности рассуждений, полагаем, что 
.
где 
– квадратичная форма, в которую входят лишь переменные 
.
Делаем замену
,
после которой
,
где 
.
Предложенный алгоритм применяем к и после конечного числа шагов приходим к каноническому виду квадратичной формы:
.
Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа
.
Применяя метод Лагранжа, получаем:
где 
.
Перейти к содержанию
11. Канонический вид квадратичной формы. Ортогональное преобразование
Постановка задачи. Привести квадратичную форму
к каноническому виду ортогональным преобразованием.
План решения.
Теорема. Любую квадратичную форму
ортогональным преобразованием всегда можно привести к следующему каноническому виду:
,
где 
– корни характеристического уравнения 
, встречающиеся столько раз, какова их кратность.
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Матрица квадратичной формы:
.
Найдем характеристический полином матрицы квадратичной формы:
Т. е. имеем следующий канонический вид квадратичной формы:
.
Перейти к содержанию
12. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Постановка задачи. Привести кривую второго порядка
(1)
к каноническому виду.
План решения.
Инварианты относительно переноса начала координат и поворота осей:
.
Полуинвариант уравнения (1) (инвариант относительно поворота осей):
.
В зависимости от значений величин 
уравнение (1) определяет одну из следующих линий:
|
|
| действительный эллипс |
| мнимый эллипс | ||
| пара мнимых сопряженных пересекающихся прямых | ||
|
| гипербола | |
| пара действительных пересекающихся прямых | ||
|
| парабола | |
|
| пара мнимых параллельных прямых | |
| пара действительных параллельных прямых | ||
| пара действительных совпадающих прямых |
Ортогональным преобразованием координат
общее уравнение (1) в невырожденном случае (
) приводится к канонической форме уравнений эллипса (
), гиперболы (
) или параболы (
).
1. Избавляемся от слагаемого с произведением переменных (
). Для этого поворачиваем систему координат против часовой стрелки на угол 
:
2. Получив уравнение
,
приводим его к каноническому виду, путем замены 
.
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
.
Чтобы избавиться от слагаемого с произведением переменных, повернем систему координат против часовой стрелки на угол . При этом
Тогда
.
Получаем:
;
;
.
Замена:
.
Получили каноническое уравнение гиперболы:
Перейти к содержанию
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
