Экспериментальные задачи по физике (стр. 3 )

4.1. Абсолютная и относительная погрешность измерения

Результаты измерений физических величин, как правило, являются не абсолютно точными, а приближенными и должны быть представлены с указанием погрешности измерения. Например, результат измерения длины стержня линейкой с миллиметровыми делениями должен быть представлен в виде интервала:

l = 12,0 ± 0,5 мм .

Абсолютная погрешность измерения в этом случае равна Dl =± 0,5 мм.

Оценивать качество измерения принято относительной погрешностью измерения:

4.2. Погрешности прямых измерений

Выше приведен пример прямого измерения, результат которого получается непосредственно с помощью измерительного прибора.

Одним из видов погрешностей прямых измерений является погрешность отсчета. В школе принято пользоваться простейшим правилом: погрешность отсчета прямого измерения равна половине цены деления измерительного прибора.

Погрешности отсчета прямых измерений простейших измерительных приборов:

Линейка с миллиметровыми делениями: Dl = ± 0,5 мм.

Штангенциркуль на длину 150 мм: Dl = ± 0,1 мм.

Измерительная лента (рулетка): Dl = ± 0,5 мм.

Динамометр школьный на 4 Н: DF = 0,05 H

Термометр с ценой деления в 1° : Dt = ±0,5°

Однако относиться к этому «всеобщему» правилу надо все-таки критически и исходить из реальных возможностей проведения прямого измерений.

Пример 1. Измеряется высота стола рулеткой с сантиметровыми делениями. Формально абсолютная погрешность измерения равна половины цены деления рулетки, т. е. 0,5 см. Но нет никаких дополнительных средств, например, отвеса, чтобы проверить, насколько вертикально располагается при измерении лента рулетки. А ведь при отклонении от вертикали даже на 5 - 7° , что почти не заметно «на глаз», получается дополнительная погрешность в 0,3 – 0,6 см. Поэтому погрешность измерения высоты в этом случае можно брать 1 или даже 2 см.

Пример 2. Распространенные сейчас ручные электронные секундомеры дают возможность измерять промежутки времени с точностью до сотых долей секунды. Но ясно, что при использовании их в «ручном режиме» точность измерения не может быть меньше одной десятой секунды (время реакции человека). Поэтому показания такого секундомера следуем округлять до десятых долей секунды, а погрешность однократного измерения брать 0,1 или даже 0,2 с.

4.3. Косвенные измерения и метод границ

Другой вид измерений – косвенные измерения. В этом случае необходимо произвести не менее двух измерений, а результат получается с помощью вычислений по определенным формулам. Например, площадь треугольника вычисляется по результатам прямых измерений длины основания и высоты.

Так как величины, входящие в формулу, имеют собственные погрешности измерений, то и результат косвенного измерения характеризуется «суммарной» погрешностью.

Существуют разные способы оценки погрешностей косвенных измерений. Один из них – метод границ. Основное достоинство этого метода состоит в его простоте и наглядности.

При методе границ из полученных результатов прямых измерений каждой из величин берут два значения: одно - наименьшее (заведомо меньше истинного), называется нижней границей величины (НГ), другое – наибольшее (заведомо больше истинного значения), называется верхней границей (ВГ). Между нижней и верхней границами находится истинное значение искомой величины. В этом случае за измеренное значение величины х принимают полусумму границ, как среднее арифметическое значение ее нижней и верхней границ:

,

а за величину абсолютной погрешности – полуразность этих границ:

.

Пример. Измеряется ускорение движения тела, соскальзывающего без начальной скорости по наклонной плоскости. При этом пользуются формулой:

.

Длина наклонной плоскости измерена рулеткой с сантиметровыми делениями:

S = 120,0 ± 0,5 см.

Время соскальзывания измерено ручным секундомером: t = 2,4 ± 0,1 с. (измерение было проведено всего один раз).

Находим НГ и ВГ ускорения, подбирая числовые значения длины и времени так, чтобы получить наименьшее и наибольшее его значение[6]:

Приближенное значение измеренного ускорения равно среднему арифметическому значению:

,

Абсолютная погрешность этого косвенного измерения:

.

Результат измерения представляем в виде:

а = 0,42± 0,04 м/с2 , d = 9,5%

В приведенном примере относительная погрешность измерения длины наклонной плоскости составляет всего лишь . Поэтому для ее измерения вполне подходит рулетка. Очевидно, что основной вклад в общую погрешность измерения ускорения вносит погрешность измерения времени.

Зная соотношение погрешностей измерения различных величин для косвенного измерения, можно сделать оптимальный выбор измерительных приборов и сконцентрировать внимание на наиболее важных участках эксперимента. В нашем примере, следует подумать о применении электронных датчиков для измерения времени.

4.4. Случайные погрешности

Часто при повторении одних и тех же измерений могут получаться значения, несколько отличающиеся друг от друга, что можно объяснить влиянием каких-то случайных причин, т. е. неодинаковыми условиями при проведении вроде бы одинаковых опытов. Это особенно относится к измерению промежутков времени, дальности движения тела по инерции при наличии трения, и т. п. Как быть в таких случаях? Выход ясен – следует провести одни и те же измерения несколько раз, а затем провести их математическую обработку.

Понятно, что чем больше будет проведено однотипных измерений, тем точным будет итоговый результат. Окончательное решение о количестве однотипных измерений принимается с учётом двух требований. Первое из них состоит в оценке величины разброса (дисперсии) получаемых величин - чем больше дисперсия, тем больше понадобится измерений. Второе – размер погрешности, считающейся допустимой в данном эксперименте и определяемый как методикой эксперимента, так и точностью измерительного инструмента. Для определения оптимального количества измерений используется теория ошибок и специальные таблицы. Однако, в школьных лабораторных работах допускается погрешность 5-10%, поэтому в большинстве случаев достаточно трех – пяти измерений. Но при этом нужно быть уверенным, что среди результатов нет явных «промахов».

В описанном выше опыте по измерению ускорения тела, соскальзывающего с наклонной плоскости, вряд ли можно получить другое значение длины наклонной плоскости, чем 120 см, если даже повторить это измерение несколько раз. Поэтому можно ограничиться однократным измерением, проведенным, естественно, максимально аккуратно. А вот время соскальзывания обязательно должно быть измерено несколько раз. При этом наверняка обнаружится, что оно различно в разных опытах.

Допустим, проведено n =6 опытов, которые дали результаты: t = 2,2, 1,1, 2,6, 2,4, 2,5, 2,0 с.

Прежде всего, надо проанализировать полученные значения на наличие промахов – значений, резко выбивающихся из общего ряда. Промахи чаще всего объясняются невнимательностью экспериментатора. Промахи следует вычеркнуть, а измерения повторить. В нашем примере следует признать промахом второй результат, 1,1с.

Дальнейшую обработку результатов измерений лучше всего оформлять в виде таблицы. В неё внесём 5 результатов:

№ опыта	t, c	Dt, c	(Dt)2, c2
1	2,2	- 0,1	0,01
2	2,6	+0,3	0,09
3	2,4	0,1	0,01
4	2,5	+0,2	0,04
5	2,0	-0,3	0,09
	<t> = 2,3	Σ=+0,2	S(Dt)2 = 0,24

Здесь угловые скобки <…> обозначают среднее арифметическое значение столбика чисел t, а заглавная греческая буква S «сигма», как обычно, применяется для обозначения суммы чисел.

Наилучшим приближением к истинному значению измеряемой величины считается ее среднее арифметическое значение[7]:

.

Далее вычисляем отклонение результатов каждого измерения от среднего значения Dt=( t - <t>) и записываем их в третью колонку таблицы.

Примечание. Если в определении среднего арифметического значения и в вычислении погрешностей каждого измерения ошибок не было, то сумма погрешностей (третья колонка) должна быть очень близкой к нулю. Рекомендуется обязательно проводить такую промежуточную проверку.