Экспериментальные задачи по физике (стр. 4 )

Каждое значение Dt возводим в квадрат и находим сумму их квадратов – третья колонка.

Вычисляем среднюю квадратичную погрешность среднего значения: так называемое стандартное отклонение среднего значения S

,

где n – число измерений.

В нашем примере

С учетом случайной погрешности окончательный результат измерения времени представляем в виде:

t = <t> + S , , т. е.

t = 2,3 ± 0,1; d = 4,3%

Итак, оказалось, что время соскальзывания тела с наклонной плоскости, вычисленное по результатам пятикратного измерения, отличается от результата однократного измерения примерно на 4-5 %.

Кроме того, необходимо учесть, что в общую погрешность измерения времени обязательно входит погрешность отсчета времени

Δt = 0,1c, .

Таким образом:

t = 2,3 ± 0,2 c , δ = 8,6%

Именно этот результат измерения времени и следует использовать для расчета ускорения движения тела по наклонной плоскости:

,

.

Окончательный результат измерения ускорения представляем в виде:

а = 0,47 ± 0,09 м/с2 , d = 19 %.

а = 0,42± 0,04 м/с2 , d = 9,5%

Точность измерения кажется неудовлетворительной, но этому есть два оправдания. Во-первых, время скольжения измерялось с большими погрешностями, обусловленными методическим несовершенством установки – моменты начала и конца движения фиксировались вручную, что не обеспечивает точность. Во-вторых, в расчетную формулу время входит во второй степени, что удваивает погрешность измерения ускорения.

Вообще, при анализе погрешностей все сомнения следует трактовать в сторону увеличения интервала. Ни в коем случае, как бы этого не хотелась, их нельзя занижать. Следует помнить, что качество измерений могут проверить и будет лучше, если контрольные результаты попадут в представленный вами интервал. Поэтому, чем он шире, тем надёжнее. Но важно помнить, что контролёры могут рассчитать погрешности, не производя измерений – по качеству применяемых инструментов и методике эксперимента. И вам будут предъявлены претензии, если эти теоретические величины окажутся уже показанного вами интервала.

4.5. Графический метод представления результатов измерений

Часто целью экспериментальных задач является поиск связей между различными физическими величинами, характеризующими физическую систему или процесс. Глядя на численные результаты измерений, которые представлены в виде таблиц, бывает трудно сказать, связаны ли они между собой и, если ответ положителен, то какова эта зависимость. В этом случае графический метод обработки и представления результатов измерений является наилучшим и становится обязательным.

Графиками пользуются, чтобы установить, каково математическое соотношение между двумя величинами – прямо пропорциональное, обратно пропорциональное, или нелинейное (квадратичное, экспоненциальное, синусоидальное, и т. д.)

Форма графика, площади под графиками, углы их наклона, отсекаемые им отрезки на осях, имеют определённый физический смысл и позволяют получить дополнительную информацию о характере связи между физическими параметрами.

На графиках обычно принято по горизонтальной оси откладывать аргумент - независимую переменную, значение которой задает сам экспериментатор. А по вертикальной оси откладывают функцию, т. е. ту величину, которую при этом измеряют. Иначе говоря, по горизонтальной оси откладывается причина, а по вертикальной - следствие.

Задача-пример: Изучить характер движения шарика, скатывающегося по наклонному желобу.

Фактически, здесь требуется ответить на вопрос: является ли изучаемое движение: а) равномерным, б) равноускоренным, в) носит более сложный характер? Для этого изучается зависимость пути, пройденного шариком, от времени движения при неизменном угле наклонна желоба.

Допустим, при измерениях получены следующие результаты (первая и вторая строка таблицы):

S,м	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
t, c	1,6	2,4	2,7	3,3	3,6
t2,с2	2,6	5,8	7,3	10,9	13,0

Изучая по таблице полученные результаты, трудно уловить зависимость между временем движения и пройденным расстоянием. Поэтому строим график зависимости S = f(t) (рис. 1.а). Он получился в виде возрастающей кривой. По виду этого графика нельзя утверждать, что это именно парабола второго порядка, которая соответствует проверяемой зависимости.

Единственным графиком, по внешнему виду которого можно однозначно судить о характере исследуемой зависимости, является прямая линия. Чтобы воспользоваться этим свойством, нужно произвести замену переменных так, чтобы зависимость между ними была бы линейной. В нашем случае строим график зависимости S = f(t2) (рис. 1.б). Этот график – прямая линия. Следовательно, в данном опыте шарик движется по наклонному желобу равноускоренно, поскольку пройденный путь прямо пропорционален квадрату времени движения.

В рассматриваемом примере по углу наклона касательной, проведённой к любой точке графика функции S=f(t) (рис.1.а), к оси времени можно определить мгновенную скорость шарика в любой момент времени его соскальзывания. А по углу наклона прямой S = f(t2) к горизонтальной оси (рис. 1.б) можно вычислить ускорение движения шарика:

Построение графика по экспериментальным точкам – ответственное и трудное занятие. Ошибки, допущенные при их построении, могут исказить результаты или сделать недоступными все информационные достоинства этого способа представления исследований. Рассмотрим некоторые дополнительные правила построения графиков:

а) Экспериментальные точки не должны сливаться друг с другом (рис 2. а) и занимать незначительную часть площади листа. Поэтому лучше выбрать такой масштаб, чтобы точки располагались с разумным интервалом (рис. 2. б).

б) Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единице измеренной величины (или 10; 100; 0,1 и т. д.) соответствует 1 см. Можно также выбирать такой масштаб, чтобы 1 см соответствовал 2 или 5 единицам. Других масштабов (1:3; 1: 7 и т. п.) следует избегать просто потому, что иначе при нанесении точек на график придется производить трудные арифметические пересчеты.

в) Соединять на графике две любые точки можно лишь в том случае, если имеется абсолютная уверенность, что в этом интервале зависимость между представляемыми величинами не претерпевала скачкообразных изменений.

г) По этой же причине нельзя соединять все экспериментальные точки на графике ломаной линией (рис. 3.а.), ибо это означало бы, что при изменении одной величины другая всё-таки изменяется скачками. А в этом случае необходимы не точечные, а непрерывные измерения, для которых требуется иная, самопишукщая аппаратура.

Тем более нельзя соединять прямой линией первую и последнюю точку графика. Зачем же было тогда делать промежуточные измерения?

д) Если есть основания полагать, что зависимость «плавная», а разброс точек объясняется погрешностями измерений, то через экспериментальные точки необходимо проводить «наилучшую» плавную кривую или прямую линию - «на глазок» (рис. 3.б). При этом справа и слева от центра, а также под и над линией должно оказаться приблизительно одинаковое количество равноудалённых от линии экспериментальных точек.

е) Существуют математические приемы, позволяющие, исходя из экспериментальных данных, получить уравнение наилучшей линии («метод наименьших квадратов»). В этом случае определяется также коэффициент корреляции, показывающий в процентах, насколько близки результаты измерений к предполагаемой зависимости.

ж) На графиках в каждой экспериментальной точке могут быть показаны в масштабе абсолютные погрешности измерения каждой из величин. Изображаются они вертикальным и горизонтальным отрезками (крестами), в некоторых случаях прямоугольниками или овалами. Проводимая на таком графике линия должна касаться по возможности всех этих отметок, этому теперь имеются «законные» основания.

4.6. Вычисления

При вычислениях «вручную» возникает естественное желание избегать излишних затрат труда и времени. Для этого было принято округлять числа до трёх значащих цифр[8] на каждом этапе вычислений. Но в связи с широким распространением микрокалькуляторов необходимость в предварительном округлении чисел как бы отпала. С другой стороны, учитывая, что при выполнении измерений редко встречаются числа, имеющие больше четырех значащих цифр, точность до восьми или девяти цифр, получаемая на микрокалькуляторе, является излишней.