N-мерные векторы и их системы (стр. 2 )

Вектор называется нормированным, если его длина равна 1.

Каждый вектор a можно нормировать, т. е. умножить на число k, чтобы вектор k×a был нормированным.

, .

Угол между n-мерными векторами

Из неравенства Коши-Буняковского следует:

,

.

Углом между n-мерными векторами a и b называется значение; которое получается из решения уравнения (4):

, которое принадлежит отрезку .

Причем решение единственно при любых и . Следовательно, и угол между векторами a и b определен однозначно.

Перепишем соотношение (4) в виде

,

отсюда следует, что скалярное произведение векторов a и b равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Геометрическая характеристика векторов – длина вектора и угол между векторами, – позволяют сформулировать критерий равенства n-мерных векторов.

Теорема: ненулевые n-мерные векторы а и b равны тогда и только тогда, когда угол между ними равен нулю и длины этих векторов равны.

Коллинеарные векторы

Два ненулевых n-мерных вектора называются коллинеарными, если угол между ними равен 0 или p.

Если , то коллинеарные векторы считаются одинаково направленными, если же, то коллинеарные векторы противоположно направлены. Символичная запись означает, что векторы а и b одинаково (противоположно) направлены.

Ненулевые векторы a и b называются неколлинеарными, если угол между ними >0 и <p.

Ненулевые векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда можно подобрать такое k (число), что .

Разложение вектора по системе векторов

Пусть дана система n -мерных векторов выбираем n – произвольных чисел . Заметим, что чисел ровно столько, сколько векторов в системе.

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Пусть теперь наряду с векторами дан еще -мерный вектор . Будем говорить, что вектор линейно выражается через векторы , если он равен некоторой линейной комбинации векторов, т. е. найдется такой набор чисел , что

. (5)

В этом случае будем говорить также, что вектор разлагается по векторам . Числа называются коэффициентами разложения вектора по системе .

Разложение считается отличным от разложения (5), если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения (т. е. хотя бы один ).

Справедливы следующие утверждения:

1.  Нулевой вектор разлагается по каждой системе векторов

.

2.  Если вектор разлагается по части системы векторов , то он разлагается и по всей системе векторов.

Предположим, что часть системы векторов можно представить

, где

тогда

.

3.  Каждый - мерный вектор разлагается по диагональной системе - мерных векторов:

с коэффициентами, которые равны координатам вектора .

В самом деле

.

4.  Если вектор разлагается по системе векторов , а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов , то вектор разлагается по системе векторов .

Из условия следует, что

После подстановки получаем:

Т. е. вектор разлагается по векторам .

Векторная формула системы линейных уравнений

Используя введенные операции над векторами, запишем систему линейных уравнений:

в векторной форме.

Обозначим столбцы коэффициентов при неизвестных

, , ; .

Тогда систему (1) можно представить в виде:

(2)

Уравнение (2) называется векторной формой системы линейных уравнений (1). Последовательность чисел называют решением системы (2), если - верное векторное равенство.

Пусть n-мерный вектор () является решением системы (3). Тогда ясно, что для разложения вектора по системе достаточно найти решение системы линейных уравнений (2).