N-мерные векторы и их системы (стр. 3 )

Пример: дана система векторов и вектор

; ; ; ; .

Выяснить разлагается ли вектор по системе векторов .

Для этого необходимо решить систему уравнений

.

Имеем:

Общее решение системы имеет вид:

Главные неизвестные и , так как получена система 2 уравнений (остальные линейно зависимы).

Общее решение:

Достаточно положить свободные неизвестные и произвольные значения и получить разложение вектора по системе векторов .

Например:

, тогда , .

Следовательно:

.

Если же , тогда

и .

Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

Система векторов а1, а2, …, аn называется линейно зависимой, если система уравнений

a1x1 + a2x2 + … + аnxn = 0 (1)

имеет ненулевое решение, если же система уравнений не имеет ненулевых решений, то система векторов a1, a2 …, an называется линейно независимой.

Будем говорить, что набор чисел k1, k2, … kn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел k отлично от нуля.

Для линейно зависимых систем векторов (линейно независимых) справедливы следующие утверждения:

1.  Система векторов, состоящая из одного вектора a ≠ 0 линейно независима.

В самом деле, из любого соотношения a = 0 и a ≠ 0 → k = 0, что и означает линейную независимость системы.

2.  Диагональная система векторов

; ; …, ;

линейно независимые.

Запишем систему уравнений

e1x1+e2x2+…enxn = 0 (2)

в виде таблицы

x1	x2	…	xn
1	0	…	0	0
0	1	…	0	0
0	0	…	1	0

Откуда ясно, что система уравнений (2) имеет единственное решение x1=0; x2=0…xn=0, т. е. не имеет не нулевых решений и поэтому диагональная система векторов линейно независима.

3.  Система векторов a1, a2 …, an линейно зависима, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным векторам этой системы.

Пусть какой-нибудь вектор А1 разлагается по остальным векторам системы

a1=l2a2+l3a3+…+lnan (3)

Представим (3) в виде

-1a1+l2a2+l3a3…+lnan=0

Так как набор чисел (решение) -1, l2, l3…, ln – не нулевой, система векторов a1, a2,…,an –линейно зависима.

4.  Система m мерных векторов a1, a2,…, an линейно зависима, если n<m.

Действительно система уравнений

a1x1+a2x2+…+anxn=0 (4)

содержит m уравнений и n неизвестных.

Так как по условию n>m, то из теории:

«Система однородных уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет нулевое решение» вытекает, что система уравнений (4) обладает ненулевым решением. Следовательно, система векторов a1, a2,…, an линейно зависима.

Свойства линейно зависимых и линейно не зависимых систем векторов

1. Непосредственно из определений видно, что каждая система векторов либо линейно зависимые, либо линейно независимые.

2. Если часть системы векторов a1, a2, …, an линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Допустим, что часть, состоящая из векторов a1, a2,…, ap линейно зависима, т. е. k1a1+k2a2+…kpap=0 и k1k2…, kp ненулевой набор чисел. Тогда соотношение

k1a1+k2a2+…+ kpap+ap+1+ ap+2+…+ an=0

выполняется с не нулевым набором чисел.k1, k2…kp, 0, 0 - что и означает линейную зависимость системы a1,…,an.

3.Если система векторов a1, …, an линейно независима, то и любая ее часть линейно независима.

Докажем это свойство от противного.

Предположим, что часть системы линейно зависима. Тогда из свойства (2) следует, что и вся система линейно зависима, однако это противоречит условию. Следовательно, любая часть данной системы линейно не зависима.

4. Если система векторов a1, a2,…, an линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы разлагается по остальным ее векторам.

5. Если система векторов a1, a2,…, an линейно зависима, а ее часть линейно не зависима a1…, an-1, то вектор an разлагается по векторам a1, a2,…, an-1.

Пример 1

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

a1=(3, 5, 1, 4), a2=(-2, 1,-5, -7), a3 = (-1, -2, 0, -1)

Преобразуем систему линейных уравнений

a1x1+a2x2+a3x3=0 методом Гаусса, (столбец свободных членов состоит только из нулей и не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать)

X1	X2	X3
3	-2	-1
5	1	-2
1	-5	0
4	-7	-1
-3	2	1
-1	5	0
1	-5	0
1	-5	0

(3) (1)