N-мерные векторы и их системы (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

N-МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ИХ СИСТЕМЫ

Методические указания для выполнения контрольной

работы по дисциплине

«Математика (раздел линейная и векторная алгебра)»

Для специалистов, обучающихся по направлению

220200 ‑ «Автоматизация и управление» специальности

220201 ‑ «Управление и информатика в технических системах»,

и бакалавров, обучающихся по направлениям

220400 ‑ «Управление и информатика в технических системах»

и 220700 – «Автоматизация технологических процессов

и производств»

заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ

2012

УДК 519.852.6

N-мерные векторы и их системы: Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Математика (раздел линейная и векторная алгебра)» / Воронеж. гос. ун-т инж. технол.; Сост. , . Воронеж, 2012. 22 с.

Указания разработаны в соответствии с требованиями ГОС ВПО подготовки специалистов по направлению 220200 – «Автоматизация и управление» специальности 220201 – «Управление и информатика в технических системах» и ФГОС ВПО подготовки бакалавров по направлениям 220700 ‑«Автоматизация технологических процессов и производств» и 220400 ‑«Управление и информатика в технических системах». Методические указания посвящены обучению осуществления линейных операций с n-мерными векторами и их системами с использованием математического редактора MathCad. Предназначены для закрепления теоретических знаний дисциплины цикла ЕН.

Ил. 2. Библиогр.: 8 назв.

Составители доценты С. Г. ТИХОМИРОВ,

Е. А. ХРОМЫХ

Научный редактор профессор, д. т.н. В. Ф. ЛЕБЕДЕВ

Рецензент профессор, д. т.н. Ю. А. ЧЕВЫЧЕЛОВ

Печатается по решению

редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета

инженерных технологий

Ó ,

, 2012

Ó Воронеж. гос. технол. акад., 2012

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

Цель работы:

Освоение навыков осуществления линейных операций над n-мерными векторами, разложения вектора по системе векторов, определения линейной зависимости и независимости системы векторов с использованием математического редактора MathCad.

1. Постановка задачи

1.  В соответствии с выбранным вариантом (приложение 1) осуществить разложение вектора В по системе векторов А1, А2, …, Аn.

2.  В соответствии с выбранным вариантом (приложение 2) выяснить, является ли данная система векторов А1, А2, А3 линейно зависимой или линейно независимой.

3.  Проверку результатов, полученных при выполнении пунктов 1 и 2, осуществить с использованием математического редактора MathCad.

4.  Оформить отчет.

2. Порядок выполнения работы

1.  Изучить методические указания и ответить на контрольные вопросы.

2.  Получить у преподавателя номер варианта.

3.  В соответствии с пунктами заданий 1 и 2:

-  осуществить решение индивидуальных заданий вручную с помощью метода Гаусса;

-  произвести проверку результатов, полученных при выполнении пунктов 1 и 2, с помощью математического редактора MathCad;

-  внести результаты в отчет.

4.  Пункты заданий, не являющихся индивидуальными, представить в отчете в виде доказательств.

5.  Провести анализ полученных результатов.

3. Краткие теоретические сведения

В геометрии вектором называется направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор a однозначно определяется своими координатами:

, (1)

где называются координатами вектора a.

Если какой-либо другой вектор, то

, (2)

, (3)

где k – число.

Сложение векторов и умножение вектора на число называется линейными операциями над векторами.

Обобщим понятие вектора следующим образом: назовем последовательность n чисел n-мерным вектором и представим его в виде (1). Число a1 называется первой координатой вектора a; a2 – второй координатой и т. д., а число n (количество координат) называется размерностью вектора а.

Два n-мерных вектора:

,

,

считаются равными только тогда, когда равны их соответствующие координаты

, ,…, .

Очевидно, что для любого вектора а: , где . Вектор O называется нулевым.

Вектор (-1)×a называется противоположным вектору a и обозначается -a, т. е. . Ясно, что , вместо .

Так как операции над n-мерными векторами определяются через операции над их координатами, свойства арифметических операций справедливы и для операций над векторами.

1)  (сложение коммутативно);

2)  (сложение ассоциативно);

3)  (сложение дистрибутивно);

4)  (сложение дистрибутивно);

5)  ,

где – некоторые вещественные числа.

Скалярное произведение и длина n-мерных векторов

Как известно из геометрии, если векторы а и b заданы своими координатамии , то их скалярное произведение a×b определяется по формуле:

.

По аналогии скалярным произведением n-мерных векторов и называется число .

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для скалярного произведения векторов:

1) 

2)  , где k – число.

3) 

4)  причем тогда и только тогда, когда (нулевой вектор).

Длиной n-мерного вектора a называется число . Длина вектора a обозначается .

Из 4 свойства скалярного произведения векторов вытекает, что каждый n-мерный вектор a обладает длиной, причем нулевой вектор O, является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Если а и b – n-мерные векторы, то справедливы следующие числовые соотношения:

1)  , k – число;

2)  (неравенство Коши-Буняковского);

3)  (неравенство треугольника).