N-мерные векторы и их системы (стр. 4 )

(2) (1)

X1	X2	X3
0	-13	1
1	-5	0
0	0	0
0	0	0

Общее решение уравнения имеет вид:

Эта система имеет не нулевое решение (5, 1, 13). Следовательно, векторы a1, a2, a3 линейно зависимы.

Пример 2

Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой.

a1=(-20, -15, -4); a2=(-7, -2, -4); a3 = (3, -1, -2)

Преобразуем систему линейных уравнений

a1x1+a2x2+a3x3=0 методом Гаусса.

X3	X2	X3
-20	-7	3
-15	-2	-1
-4	-4	-2
-26	-13	0
-13	0	0
2	2	1
2	1	0
-13	0	0
-2	0	1
0	1	0
1	0	0
0	0	1

(2)

(-2) (2) (3) (1)

Общее решение системы имеет вид x1=0; x2=0;.x3=0.

Эта система не имеет ненулевых решений, таким образом, вектор x, x2, x3 линейно независима.

4. Контрольные вопросы

1.  Линейные операции над n-мерными векторами.

2.  Скалярное произведение и длина n-мерных векторов.

3.  Угол между n-мерными векторами.

4.  Разложение вектора по системе векторов.

5.  Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

6.  Векторная форма системы линейных уравнений.

7.  Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов.

8.  Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов.

5. Требования к отчету

Отчет о работе должен содержать название работы, цель, постановку задачи, исходные данные, подробное описание получения решений заданий, доказательств, распечатку результатов проверки, анализ полученных результатов.

Отчет выполняется на листах формата А4 или в отдельной тетради.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

1.  Найти разложение вектора В по диагональной системе (упражнение 1).

2.  Найти разложение вектора В по системе А1, А2, А3 (упражнение 2).

3.  Найти разложение вектора В по векторам А1, А2, А3 (упражнение 3).

4.  Разложить каждый вектор системы А1, А2, …, Аn по векторам этой системы.

5.  Доказать, что если векторы В1 и В2 разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn, то векторы В1+В2, k×B1, t1×B1+t2×B2 также разлагаются по системе векторов А1, А2, …, Аn (k, t1, t2 – константы).

6.  Доказать, что ни один из векторов диагональной системы не разлагается по остальным векторам этой системы.

7.  Вектор В разлагается по системе векторов А1, А2, …, Аm. Доказать, что каждый вектор системы В+А1, В+А2,…, В+Аm разлагается по системе А1, А2, …, Аm.

Таблица 1

№ варианта	Векторы А1, А2, А3, В
Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
В	A1 A2 A3	B	A1 A2 A3	B
1.	7 5 -3 4	0 0 1 1 0 1 0 1 1	1 3 0	-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2	1 1 1 4
2.	-2 0 3 1	1 0 1 0 1 0 1 1 0	-2 1 1	-3 -1 5 5 2 3 5 2 1 2 1 2	-5 5 1 4
3.	5 6 -3 2	1 -1 1 0 2 0 -2 2 0	0 4 1	-2 -2 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3 3 1 4
4.	-5 7 -1 0	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0	0 4 1	-1 0 -4 3 2 3 0 2 1 2 1 2	-2 3 1 4

Окончание таблицы 1

№ варианта	Векторы А1, А2, А3, В
Упражнение 1	Упражнение 2	Упражнение 3
В	A1 A2 A3	B	A1 A2 A3	B
5.	4 -5 1 1	1 0 1 1 1 1 0 1 1	-2 5 1	-1 0 0 1 2 5 1 2 1 2 1 2	0 4 2 4
6.	9 -10 3 1	1 0 1 0 0 1 0 1 0	-8 4 6	-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2	0 1 2 4
7.	0 5 -12 8	1 0 1 1 1 2 0 1 0	0 6 2	-1 -1 -2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3 3 1 4
8.	9 -10 3 1	1 0 1 0 0 1 0 1 0	-8 4 6	-1 0 0 1 2 3 0 2 1 2 1 2	0 1 2 4
9.	1 2 -3 7	1 0 1 1 2 2 1 2 0	0 2 4	4 2 0 0 2 3 0 0 1 3 0 0	0 0 1 1
10.	0 0 -1 8	1 0 1 1 1 3 0 1 3	-1 1 2	-1 0 0 0 0 2 2 0 2 2 1 0 3 1 2 1	0 3 1 4
11.	-3 5 5 -4	2 0 1 1 4 2 0 5 0	6 6 0	-1 0 -2 0 2 3 0 2 2 2 1 2	-3 3 2 4
12.	-2 0 -5 -1	5 0 1 1 4 3 0 5 1	10 2 0	1 4 4 0 1 3 2 1 4 0 1 0	-1 2 1 1
13.	5 -6 -1 4	3 0 1 2 1 1 0 1 0	-1 0 2	-2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1	0 2 1 1

Упражнения 1, 2, 3 выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1.  Выяснить, является ли данная система векторов А1, А2, А3 линейно зависимой или линейно независимой:

a)  А1, А2, А3 (упражнение 1a);

b)  А1, А2, А3, А4 (упражнение 1b);

c)  А1, А2, А3, А4 (упражнение 1c).

2.  Доказать, что четыре вектора А1=(1,0,0), А2=(0,1,0), А3=(0,0,1), А4=(1,1,1) образуют линейно зависимую систему, но любые три из них линейно независимы.

3.  Установить, что система векторов линейно зависима, если она содержит:

a)  два равных вектора;

b)  два пропорциональных вектора.

4.  Дана линейно независимая система векторов А, В,С. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:

a)  А+В, В+С, С+А;

b)  А+В, С-В, С+А.

5.  Доказать, что два ненулевых n-мерных вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они не коллинеарные.

Таблица 2

№ варианта	Векторы
Упражнение 1а	Упражнение 1b	Упражнение 1с
A1 A2 A3	A1 A2 A3	А4	A1 A2 A3	А4
1.	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0	1 1 1 4	-1 -1 0 2 2 2 8 2 1 2 1 2 1 1 1	1 1 1 4 4
2.	1 0 1 0 1 0 1 1 0 -2 2 0	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	-5 5 1 4	-3 -1 5 5 2 3 1 1 1 5 2 1 2 1 2	-5 5 1 2 4

Продолжение таблицы 2

3.	1 -1 1 0 2 0 -2 2 0 -2 2 0	0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1	-3 3 1 4	-2 -2 -2 1 1 1 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3 1 3 1 4
4.	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2	1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0	-2 3 1 4	-1 0 -4 3 2 3 0 2 0 0 2 1 2 1 2	-2 3 1 4 0
5.	1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1	1 -1 1 0 1 0 -2 1 0 1 4 2	0 4 2 4	-1 0 0 1 2 5 0 2 0 1 2 1 2 1 2	0 4 5 -2 4
6.	1 0 1 0 0 1 0 1 3 0 1 0	1 0 1 1 1 1 1 4 2 0 1 1	0 1 2 4	-1 0 0 1 2 3 0 2 1 1 4 2 2 1 2	0 1 2 4 3
7.	0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0	1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0	-3 3 1 4	-1 -1 -2 1 4 2 0 2 3 0 2 1 2 1 2	-3 3 4 1 4
8.	1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0	0 1 3 1 0 1 1 1 2 0 1 0	0 1 2 4	-1 0 0 1 1 2 1 2 3 0 2 1 2 1 2	0 1 2 4 1
9.	1 0 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0	1 0 1 0 2 0 7 0 1 0 1 0	0 0 1 1	4 2 0 1 1 2 0 2 3 0 0 1 3 0 0	0 0 -3 1 1
10.	1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3	2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0	0 3 1 4	1 1 -2 0 2 1 0 5 0 0 1 0 2 1 1	0 3 2 1 4

Окончание таблицы 2

11.	2 0 1 1 4 2 0 5 0 0 2 0	1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 3	-3 3 2 4	-1 0 -2 0 5 0 0 2 3 0 2 2 2 1 2	-3 0 3 2 4
12.	5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1	3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2	-1 2 1 1	1 4 4 0 1 3 1 4 3 2 1 4 0 1 0	-1 2 3 1 1
13.	3 0 1 2 1 1 0 1 0 1 4 2	5 0 1 1 4 2 1 4 3 0 5 1	0 2 1 1	1 4 3 -2 1 -2 0 1 2 0 2 3 2 2 1	3 0 2 1 1

Упражнения 1a, 1b, 1c выполняются по вариантам, остальные – без вариантов.

Рекомендации по выбору варианта

Если последние две цифры зачетной книжки составляют число в пределах от 1 до 13, то они образуют номер варианта. В противном случае номер варианта совпадает с последней цифрой зачетной книжки. Если последние две цифры зачетной книжки нули, то номер варианта – 13.

Библиографический список

1.  , , . Практикум по линейной и векторной алгебре (учебное пособие).- В.: ГОУ ВПО ВГТА, 2008.- 78 с.

2.  Зимина, математика. Решебник [Текст] : учебное пособие для студ. вузов (гриф МО). вып. 1 / под ред. . - 3-е изд. испр. - М. : Физматлит, 2006. - 368 с.

3.  Макаров, Е. Инженерные расчеты в Mathcad 14 [Текст] . - СПб. : Питер, 2007. - 592 с.

4.  Макаров, Е. Г. Mathcad [Текст] : учебный курс. - СПб. : Питер, 2009. – 384 с.

Учебное издание

N-МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ И ИХ СИСТЕМЫ

Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Математика (раздел линейная и векторная алгебра)»

Для студентов специальности 220201,

направлений 220400, 220700

Составители ТИХОМИРОВ Сергей Германович,

ХРОМЫХ Елена Алексеевна

Компьютерный набор и верстка

Подписано в печать

Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Ризография.

Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж 150 экз. Заказ

Воронежский государственный университет инженерных технологий (ВГУИТ)

Участок оперативной полиграфии ВГУИТ

Адрес академии и участка оперативной полиграфии:

394000 Воронеж, пр. Революции, 19