Методические указания и задания к контрольной работе по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика» (стр. 6 )

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

В формулах (1) и (2): - возможные значения случайной величины , - вероятности того, что случайная величина примет эти значения.

Свойства математического ожидания:

1. (3).

Где - постоянная величина.

2. , (4).

Где =const.

3. (5).

Где и - две любые случайные величины.

4. , (6).

Где и - две независимые случайные величины.

Дисперсия случайной величины определяется равенством

, (7)

Или равносильным ему равенством

(8).

Дисперсию дискретной случайной величины, имеющей конечное число возможных значений, можно вычислять по формуле

, (9).

Соответствующей формуле (7), или по формуле

, (10),

соответствующей формуле (8).

Свойства дисперсии:

1.  (11)

2.  (12)

3.  ; (13), где и - две независимые случайные величины.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины равно

(14).

Задача образец

Дискретная случайная величина задана рядом распределения

Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Ответ: ; ;

определяем количество переменных, для того чтобы сделать 1..3 надо нажать ":"

для того, чтобы получить xi надо нажать "[", и для того, чтобы вставить данные в столбец надо нажимать ",".

Задача № 2

В результате обработки данных многолетних наблюдений получены распределения случайных величин и числа хозяйств в каждом из двух районов области, которых урожайность зерновых культур может превысить 35 ц/га.

Для первого района области:

.

Для второго района области:

.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины двумя способами:

А) исходя из закона распределения ;

Б) используя свойства математического ожидания и дисперсию, отраженные формулами (5) и (13).

Убедиться в том, что в условиях данной задачи эти свойства независимых случайных величин выполняются.

Ответ: ; .

Указание: надо найти все возможные значения случайной величины и вероятности этих значений. Для этого надо учесть следующее, что суммой (разностью или произведением) случайных величин и называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида ( или ), где с вероятностями того, что случайная величина примет значение , а - значение :

.

Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей независимых событий

.

Для конкретного примера:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Для расчета вероятностей удобно составить следующую таблицу:

Получим следующий ряд распределения

Далее необходимо рассчитать и , а также и убедиться, что справедливы свойства математического ожидания и дисперсии.

Задача № 3.

Найти математическое ожидание случайной величины , если известны математические ожидания , .