Методические указания и задания к контрольной работе по дисциплине «Теория вероятности и математическая статистика» (стр. 7 )

Ответ: 31.

Задача № 4.

Доказать, что .

Задача № 5.

Доказать, что для независимых случайных величин и справедливо равенство: .

Задача № 6.

Случайные величины и . Известны дисперсии этих величин: . Найти дисперсию случайной величины .

Ответ: 29.

Задача № 7.

На птицефабрике три терморегулятора работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы в течении смены первого терморегулятора равна 0,6. для второго и третьего эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. найти закон распределения случайной величины - числа терморегуляторов, бесперебойно работающих в течение смены. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины .

Ответ:

.

Указание. Рассмотреть события:

- в течение смены будут бесперебойно работать соответственно первый, второй, третий терморегуляторы.

- в течение смены не будут бесперебойно работать соответственно первый, второй, третий терморегуляторы.

- будут сбои в работе трех терморегуляторов;

- бесперебойно будет работать один терморегулятор;

- бесперебойно будут работать два терморегулятора;

- бесперебойно будут работать три терморегулятора.

Тема 7. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина может быть задана функцией распределения (называемой также интегральной функцией распределения)

или же плотностью распределения вероятностей (называемой также дифференциальной функцией распределения):

(1)

Равенство (1) имеет место в точках непрерывности функции .

Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения:

(2).

Свойства плотности распределения вероятностей:

1.

2.  . (3)

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение , определяется равенствами:

. (4).

Задача образец.

Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Найти функцию распределения

Решение. Если , то , следовательно,

Если , то

Если , то

Таким образом, случайная величина имеет следующую функцию распределения:

Задача 1.

Случайная величина задана функцией распределения

Найти:

а) плотность распределения вероятностей ;

б) графики функций и ;

в) по известной функции и по найденной функции найти вероятность того, что в результате испытания примет значения, не меньшее 2,1 и не большее 2,5.

Дать геометрическую интерпретацию величины найденной вероятности

Ответ: а) ;

б)

в) 0,24.

Задача 2.

Случайная величина задана функцией распределения

Найти:

а) постоянные b и с.

б) плотность распределения вероятностей величины .

Ответ: а) ;

б)

Задача 3.

Случайная величина , все возможные значения которой принадлежат интервалу , задана в этом интервале плотностью распределения вероятностей . Найти коэффициент .

Ответ:

Задача 4.

График плотности распределения вероятностей случайной величины имеет вид, изображенной на рис. 1.

Найти аналитическое выражение для на всей числовой оси.

Ответ:

Задача 5.

Случайная величина подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на отрезке рис.2.

Указание:

Уравнения прямой и прямой найти из уравнения , где отрезки отсекаемые прямой на осях. Получиться для и для .