§5 Дифференциальные уравнения (стр. 2 )

Ñ Это уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:

(5)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (5).

.

Т.к. y = uv, то  – общее решение данного уравнения. #

 

5. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые явно не содержат х или у, т. е. уравнения вида  или , допускают понижение порядка. С помощью соответствующей подстановки их решение сводится к решению двух дифференциальных уравнений первого порядка.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Ñ Это уравнение имеет вид , т. е. не содержит явно у, следовательно, можно понизить порядок этого уравнения, сделав подстановку:

 ,

после этого уравнение примет вид:

или (6)

Это уравнение является однородным, т. к. в этом уравнении справа стоит функция . С помощью подстановки  от уравнения (6) перейдем к уравнению с разделяющимися переменными: .

.

Учитывая, что , получим

 – общее решение данного уравнения. #

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки . После применения подстановки получим уравнение: , которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.

Т.к. , то  – это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:

 – общий интеграл исходного уравнения. #

 

6. Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами – это уравнение, которое имеет вид:

, (7)

где p, q – некоторые действительные числа. Решение этого уравнения сводится к решению алгебраического уравнения, называемого характеристическим. Чтобы получить характеристическое уравнение, в уравнении (7) заменяем каждую производную на соответствующую степень характеристического числа, т.е.  на k, а  – на k2:

 – характеристическое уравнение.

При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

а) , б) , в)

При этом общее решение однородного уравнения запишется в виде:

а) ; б) ; в) .

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Дано ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

 Þ

Корни характеристического уравнения – действительные различные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Имеем ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение имеет вид:

 Þ

Корни характеристического уравнения – действительные равные, поэтому , следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид:

. #

Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Ñ Данное уравнение является ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:

 Þ .

Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение ЛОДУ имеет вид: , следовательно, общее решение данного уравнения:

. #

 

7. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью имеет вид:

,

где p, q – некоторые действительные числа,  – правая часть ЛНДУ. Общее решение этого уравнения (уон) состоит из общего решения соответствующего ЛОДУ (уоо) и частного решения ЛНДУ (учн):

уон = уоо + учн (8)

О нахождении уоо смотрите п. 6. Найти вид частного решения неоднородного уравнения учн помогает таблица 2.

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения

, (*)

удовлетворяющее начальным условиям:

(**).