§5 Дифференциальные уравнения (стр. 4 )

.

Т.к. yчн – решение данного уравнения, то после подстановки ее в исходное уравнение вместо y, получим тождество. Найдем предварительно:

Подставим ,  в исходное уравнение:

 Þ

Тогда . #

 Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Ñ Имеем ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью третьего вида. Решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

 Þ

Корни характеристического уравнения комплексные, поэтому

Запишем правую часть sin x в виде: 0× cos x + 1× sin x, здесь b = 1.

При sin x и cos x стоят многочлены нулевой степени , следовательно,

,

где А и В – многочлены тоже нулевой степени только с неопределенными коэффициентами, а , т. к. числа  не являются корнями характеристического уравнения (случай 3а). Итак,

Подставим ,  в данное уравнение:

Получим тождество. Приравнивая коэффициенты при sin x и cos x, получим систему уравнений:

Тогда, т. к. у он = у оо + у чн , то

. #

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.Проверить, является ли функция  решением дифференциального уравнения .

2. Проверить, является ли функция  решением дифференциального уравнения .

3. Определить тип уравнения и решить:

а) ; б) ;

в) ; г) .

4. Определить тип уравнения и найти решение задачи Коши:

а) , ; б) , ;

в) , .

5. Указать вид подстановки, понижающей порядок и решить уравнение:

а) ; б) , , .

6. Решить уравнение:

а) ; б) , , ;

в) ; г) ; д) .

7. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

ОТВЕТЫ

1. Да; 2. Да;

3. а); б) ; в) ; г); 4. а) ; б) ; в) ;

5. а) ; б) ;

6. а) ; б); в) ;

г) ; д) ;

7. а) ; б) ; в); г)