§5 Дифференциальные уравнения (стр. 3 )

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами, правая часть которого является многочленом второй степени  (специального вида, а именно первого). Найдем сначала уоо – общее решение соответствующего ему ЛОДУ:

Составим и решим характеристическое уравнение:

 Þ , следовательно,

Т.к. k = 0 не является корнем характеристического уравнения, то будем искать учн в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами (случай 1а):

.

Поскольку учн – решение данного уравнения, то при подстановке учн в это уравнение вместо у  получим тождество. Предварительно найдем  и :

;

Подставим , ,  в уравнение (*):

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:

Решив ее, получим: A=1, B=0, C=0. Таким образом, .

На основании формулы (8) имеем:

. (9)

Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (**), найдем :

Подставим 0 вместо х, 1 вместо , а 3 вместо  в , . Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

 Þ С2=0.

Подставив найденные С1 и С2 в (9), получим: . #

 

Таблица 2

Определение вида частного решения по виду правой части дифференциального уравнения

(ЛНДУ с правой частью специального вида)

	Вид правой части  ДУ	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения учн
1	Многочлен степени n , т.е.	а) 0 не является корнем характеристического уравнения
б) 0 является корнем характеристического уравнения кратности
2		а)  не является корнем характеристического уравнения
б)  является корнем характеристического уравнения кратности
3		а)  не являются корнями характерист. уравнения	где
б)  являются корнями характерист. уравнения кратности	, где
4		а)  не являются корнями характерист. уравнения	, где
б)  являются корнями характерист. уравнения кратности	где

Пример 11. Найти общее решение уравнения .

Ñ Дано ЛНДУ с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью второго вида, следовательно,

уон = уоо + учн

Найдем уоо, для чего решим ЛОДУ, соответствующее данному ЛНДУ:

Составим характеристическое уравнение и решим его.

Þ Þ

Корни характеристического уравнения действительные различные, поэтому

 Þ

Правая часть , равная , представляет собой многочлен нулевой степени , умноженный на eax, где a = –1.

В соответствии с таблицей 2 будем искать yчн в виде многочлена нулевой степени, только с неопределенным коэффициентом, т.е. А, умноженного на  и на , где , т. к.  является корнем характеристического уравнения кратности 1 (случай 2б):