§5 Дифференциальные уравнения (стр. 1 )

 

§5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

Для работы над учебным материалом рекомендуется ответить письменно на теоретические вопросы и внимательно ознакомиться с предложенными образцами решений типовых задач. Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы № 5 представлено в таблице 1.

 

ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ

КОНСПЕКТИРОВАНИЯ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1.     Какое уравнение называется дифференциальным? Порядок дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Интегральная кривая.

2.     Общий вид дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего и частного решения дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего и частного интеграла.

3.     Начальные условия. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения.

4.     Дифференциальное уравнение первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными. Метод решения.

5.     Однородная функция двух переменных k-того порядка. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод решения.

6.     Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод решения.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

7.     Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие и частные решения. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

8.     Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Методы решения.

9.     Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) высших порядков. Свойства решений.

10.       Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Вронскиан. Условия линейной независимости частных решений ЛОДУ. Структура общего решения ЛОДУ.

11.       Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ). Структура общего решения.

3. Интегрирование дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

12.       Решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

13.       Метод вариации произвольных постоянных решения ЛНДУ.

14.       Решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Таблица 1

Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы

Тема	Теоретические вопросы	Образец решения задач	Задачи контрольной работы
Дифференциальные уравнения первого порядка	№№ 1– 6	№№ 1– 4	№№ 000– 330
Дифференциальные уравнения высших порядков. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка	№№ 7– 8	№№ 5– 6	№№ 000 – 340
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида	№№ 9 – 14	№№ 7 – 12	№№ 000 – 350

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

1. Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1)

т.е. при dx – коэффициент, зависящий только от x, а при dy – только от y. Общее решение его имеет вид:

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения x dx + y dy = 0

Ñ Возьмем интеграл от каждого слагаемого, стоящего слева, а справа – нуль заменим на произвольную постоянную С.

#

Заметим, что постоянную С можно записывать как  ln C, 2C, sin C и т.д., исходя из удобства записи общего решения.

 

2. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

 

(2)

т.е. коэффициенты при dx и dy можно представить как произведение двух сомножителей, один из которых зависит только от x, а второй – только от y. Чтобы привести уравнение (2) к виду (1), разделим все члены уравнения (2) на N1(y)M2(x):

А это уравнение является уравнением с разделенными переменными.

Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Ñ Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными т.к. коэффициент при dx представляет собой произведение двух сомножителей: ex зависит только от x, а (1+y2) – только от y. Аналогично, коэффициент при dy тоже является произведением двух сомножителей: (1+ex) зависит только от x, а второй сомножитель – y.

Чтобы привести его к виду с разделенными переменными, разделим все члены уравнения на (1+ex)(1+y2), в результате получим:

Решим это уравнение.

Здесь произвольную постоянную удобнее взять в виде ln C.

(3)

Это – общий интеграл исходного уравнения. Подставив  вместо y, а 0 вместо x (см. начальные условия), получим:

Подставив С = 1 в (3), получим частный интеграл:

(4)

Если равенство (4) разрешить относительно у, то получим частное решение дифференциального уравнения:

. #

 

3. Уравнение  называется однородным, если f(x,y) удовлетворяет условию: f (tx, ty) = f (x, y). Однородным будет также уравнение . Решается это уравнение с помощью подстановки .

Пример 3. Решить уравнение .

Ñ Данное уравнение является однородным:

 Þ

.

Чтобы решить это уравнение, сделаем подстановку:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

Вернемся к первоначальной переменной:   – общий интеграл исходного уравнения. #

 

4. Уравнение вида  называется линейным. Если , то уравнение  называется линейным однородным (ЛОДУ), если , то уравнение  называется линейным неоднородным (ЛНДУ). Интерес представляют ЛНДУ, т.к. ЛОДУ являются уравнениями с разделяющимися переменными.

Пример 4. Найти общее решение уравнения .