Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
(1.6) 
Пример. Вычислить: 
.
Решение: 
.
Отметим одно из свойств числа сочетаний, позволяющее упрощать вычисления в случае, когда 
:
(1.7) 
.
В самом деле, расписав по формуле (1.6) левую и правую части рас-
сматриваемого соотношения, получим:
; 
,
что доказывает справедливость свойства (1.7).
Пример. Вычислить: 
.
Решение: 
.
Обозначения 
, 
и 
образованы от первых букв французских слов combinasion (сочетание), arrangement (размещение, приведение в порядок) и permutation (перестановка).
§2. Треугольник Паскаля
В известных формулах сокращённщго умножения: 
, 
, численные коэффициенты в правых частях рассматриваемых соотношений представим в виде следующей таблицы чисел:
| 1 2 1 | n=2 |
| 1 3 3 1 | n=3 |
Слева от приведённой таблицы коэффициентов записаны биномы (суммы двух слагаемых) с соответствующими показателями степени, которые ещё раз приведены справа от таблицы коэффициентов. Назовём эти коэффициенты биноминальными. Дополним эту таблицу биноминальных коэффициентов для показателей степени биномов, равных 1 и 0. Имеем:
| 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 | n=0 |
| n=1 | |
| n=2 | |
| n=3 | |
| m=0 m=1 m=2 m=3 |
|
Такая таблица биноминальных коэффициентов называется треугольником Паскаля. Числа, содержащиеся в этой таблице, будем ещё называть элементами. Начальную строку таблицы будем считать "нулевой" в соответствии со значением показателя степени бинома, определяющего эту строку.При этом следующая строка считается первой, последующая – второй и т.д. в соответствии с показателем степени бинома, определяющего эти строки таблицы биноминальных коэффициентов. Отметим первое свойство треугольника Паскаля.
Свойство I: Число элементов в любой строке треугольника Паскаля равно 
, то есть на единицу больше показателя степени бинома, разложение которого даёт эту строку.
Для удобства будем пологать начальный элемент любой строки "нулевым", тогда последний элемент в этой строке будет соответствовать показателю степени бинома, дающего в разложении эту строку. Нулевые, первые, вторые и все последующие элементы в каждой строке таблицы образуют в ней как бы диагонали, нумерация которых суть: 
и т.д. В приведённом выше треугольнике Паскаля эти диагонали пронумерованы внизу и отделены друг от друга прямыми линиями.
Теперь нетрудно уяснить правило, по которому можно продолжать построение треугольника Паскаля для n
4. Обозначим любой элемент таблицы через , где нижний индекс соответствует номеру строки, а верхний – номеру диагонали. Тогда любой элемент таблицы, кроме крайних в строках, при n2 определяется по формуле:
или 
,то есть имеем:
Свойство II: Любой элемент треугольника Паскаля, кроме крайних в строках, при n2 определяется суммой двух чисел, расположенных в предшествующей строке, причём одно из них находится на той же диагонали, а второе – на предшествующей диагонале.
Используя правило построения треугольника Паскаля (свойство II), продолжим составление таблицы биноминальных коэффициентов:
1 | n=0 |
1 1 | n=1 |
1 2 1 | n=2 |
1 3 3 1 | n=3 |
1 4 6 4 1 | n=4 |
1 5 10 10 5 1 | n=5 |
1 6 15 20 15 6 1 | n=6 |
1 7 21 35 35 21 7 1 | n=7 |
1 8 28 56 70 56 28 8 1 | n=8 |
.............................................. | ........... |
Пример. Написать разложение бинома 
, где n=5.
Решение. Используя пятую строку треугольника Паскаля, имеем: 
.
Элементы любой строки треугольника Паскаля суть числа сочетаний членов разложения бинома с показателем степени “n” после приведения подобных членов, причём сумма показателей степени при “a” и “b” в любом члене разложения постоянна и равна показателю степени бинома “n”. После такого отождествления биноминальных коэффициентов (элементов треугольника Паскаля) с числами сочетаний нетрудно и аналитически доказать справедливость свойства II: . Используем формулу (2.6) в правой части данного соотношения. Имеем:
, ч.т.д.
Свойство III: Крайние элементы в любой строке одинаковы и равны единице, то есть:
.
В самом деле, 
, 
.
Свойство IV: Первые и предпоследние элементы в любой строке одинаковы и равны соответствующему показателю степени бинома, равному "n", то есть:
.
В самом деле, 
, 
.
Свойство V: Вообще, равноудалённые от концов строки элементы одинаковы, то есть: .
В самом деле, поскольку биноминальные коэффициенты в треугольнике Паскаля суть числа сочитаний, то свойства III,IV и V согласуются и вытекают из свойства сочетаний, представленного формулой (1.7) и доказанного ранее.
Свойство VI: Из треугольника Паскаля усматриваем, что величины биномиальных коэффициентов от краев строки к ее середине возрастают, причем в чётной строке имеем один наибольший член разложения, а в нечетной строке – два.
Свойство VII: Любой член разложения может быть получен произведением предшествующего члена на коэффициент, равный 
, то есть имеет место формула: 
. В самом деле,
,
ч.т.д.
Представим два свойства биноминальных коэффициентов, которые будут доказаны в следующем параграфе.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
